Стоячие волны

Если две одинаковые бегущие волны распространяются вдоль оси “у” навстречу друг другу, то при наложении этих волн возникают колебания среды, называемые стоячей волной. Для получения уравнения стоячей волны сложим уравнения (4.17) в одной точке:

Произведя тригонометрические преобразования, найдем:

(4.23)

это и есть уравнение стоячей волны.

Величина

есть амплитуда волны. Она зависит от координаты “у” колеблющейся в волне точки и не зависит от времени t, т.е. не наблюдается волнового движения и переноса энергии (отсюда и название -стоячая волна).

В точках, в которых выполняется условие

(m=0, 1, 2, 3,…)

амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А (пучности волны).

В точках, где , амплитуда стоячей волны обращается в нуль. Эти точки называютсяузлами стоячей волны. Из рис. 4.8 видно, что

Рис. 4.8

наименьшее расстояние между соседними пучностями или узлами равно λ/2. Стоячие волны образуются при колебаниях в телах ограниченных размеров вследствие отражения их от границ тел, (например, при колебаниях струны).

Интерференция в тонких пленках

Рассмотрим прозрачную однородную пластинку толщиной d. Пусть на нее от точечного источника падает пучок параллельных лучей (рис.4.9).

Рис.4.9

Каждый луч частично отразится от верхней поверхности пластинки в точке М, частично, пройдя через пластинку, отразится от ее нижней поверхности в точке N. Таким образом, из одного лучаIполучается два когерентныхI^′и 2^′. Если эти лучи свести в точку А, то они интерферируют и в зависимости от разности хода Δ дают максимум или минимум. Определим разность хода Δ лучейI^′и 2^′. Для этого покажем фронт отраженных лучей ОД.

Учет λ/2 здесь связан с тем, что при отражении луча I^′в точке М от оптически более плотной среды (n>n₀) происходит изменение фазы его колебаний на противоположную (Δφ=π), что равносильно дополнительной разности хода на λ/2. Выражая отрезки: МN,NД и ОМ через толщинуdпластинки, получим:

;

или(4.24)

Если Δ равна четному числу полуволн , то будет наблюдаться максимум в точке А, если-минимум. Величинаmопределяет порядок интерференционного максимума (или минимума).

Как следует из (4.24), при неизменных n,d, λ каждому значению угла падения лучейi₁(наклону) в интерференционной картине соответствует своя интерференционная полоса(полосы равного наклона).

При интерференции от пленки переменной толщиныdоптическая разность хода Δ (4.24) меняется с толщинойdпленки: условияmaxиminсоответствуют одинаковым толщинамd. В этом случае интерференционная картина называетсяполосами равной толщины.

В предыдущих выводах мы считали λ = const(монохроматический свет). Естественный же свет в видимом диапазоне представляет набор семи основных цветов с разными λ. В этом случае интерференционные максимумы (полосы) для разных λ оказываются смещенными, так что поверхность пластинки будет иметь радужную окраску. Такую окраску имеют, например, на поверхности воды тонкие пленки масла, мыльные пленки, крылья стрекоз, цвета побежалости на поверхности металла после нагрева и т.д.

Реально на пленках меняются как α так и угол падения i₁, поэтому наблюдаются интерференционные картины смешанного типа.

Частным случаем интерференционных полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они образуют от воздушной прослойки между поверхностями стеклянной плоскопараллельной пластинки и линзой (рис.4.10) и представляет собой чередующиеся светлые и темные кольца (исследованы были Ньютоном). Рассмотрим их.

Рис.4.10

Луч 1 отражается в точке А от верхней границы воздушной прослойки, луч 2-в точке В от нижней границы прослойки. Лучи 1 и 2 когерентны. В связи с интерференцией интенсивность света, воспринимаемая наблюдателем, будет или максимальной или минимальной. Это зависит от оптической разности хода Δ лучей, приходящих в точку наблюдения

Показатель преломления для воздушной прослойки n≈1. Прибавление λ/2 к разности хода лучей в уравнении (4.24) объяснено выше. Обозначим толщину воздушной прослойки в месте отражения лучей черезdи с учетом того, что АВ≈ВС≈d, запишем:

(4.25)

Из рисунка 4.10 видно, что , гдеR-радиус кривизны линзы;r_m-радиус кольца Ньютона.

Так как dмало по сравнению сR, то величинойd²можно пренебречь и считать, что, откуда

Подставляя dв формулу (4.25), получим:

(4.26)

Условие минимума света, т.е. наблюдения темного кольца Ньютона в отраженном свете, будет выполняться, если оптическая разность хода лучей будет равна нечетному числу полуволн. Приравнивая уравнения (4.22) и (4.26), получим:

(4.27)

откуда радиусы r_mтемных колец Ньютона

(4.28)

m-номер темного кольца Ньютона.

Приравнивая (4.26) и (4.21), получим уравнение для определения радиусов светлых колец Ньютона в отраженном свете. Аналогичную картину можно наблюдать и в проходящем свете.

Применение интерференции. Явление интерференции в тонких пленках находит применение для определения длин волн излучения источников света, для контроля чистоты обработки полированной поверхности, коэффициента расширения тел при нагревании и т.д. Существуют специальные приборы-интерферометры, предназначенные для этих целей. Существуют также методыпросветления оптики -нанесение на поверхность линз или призм оптических приборов тонких прозрачных пленок толщиной равной λ/4, чтобы отраженные от линзы лучи, проходя дважды через толщину пленки, приобретали разность хода Δ=λ/2 и гасились. Благодаря этому потери светового потока на отражение объективов будут минимальными.