4. Физика колебаний и волн

Колебаниями называются процессы или движения, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания будут свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на систему.

4.1. Кинематика гармонических колебаний

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина х изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания материальной точки можно описать уравнениями:

или, (4.1)

где А-максимальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия, называемоеамплитудой колебаний;

ω -круговая или циклическая частота;

φ₁ и φ₂ -начальные фазы колебанийв момент времениt=0;

(ωt+φ)-фаза колебанийв момент времениt.

Так как косинус (или синус) изменяется в пределах от +1 до –1, то х может принимать значения от +А до –А.

Определенные состояния системы повторяются через промежуток времени Т, называемый периодомколебаний. За время Т фаза колебаний получает приращение 2π, т.е.

(4.2)

Величина , равная числу колебаний в единицу времени, называетсячастотой колебаний(измеряется в Герцах, 1Гц=1/с). Тогда циклическая частота:

ω₀=2πν (4.3)

Сложение гармонических колебаний

Покажем, что гармонические колебания можно представить с помощью вектора амплитуды А, вращаемого с циклической частотой ω (рис.4.1). Проекция вектора А на ось х:

Рис.4.1

будет меняться со временем по закону (4.1). Таким образом, проекция вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора А, циклической частотой, равной угловой скорости вращения, и начальной фазой, равной углу φ₀, образуемому вектором А с осью х в начальный момент времениt=0.

Рассмотрим сложение колебаний одинакового направления(с одинаковой частотой ω, но отличающиеся начальными фазами и амплитудой).

Рис.4.2

Результирующая амплитуда (рис. 4.2) по правилу векторного сложения:

Угол φ результирующей амплитуды определяется:

Тогда уравнение результирующего гармонического колебания будет:

.

Если же ω складываемых колебаний различны, то результирующее колебание не будет гармоническим.

Особый интерес представляют два гармонических колебания, незначительно отличающиеся по частоте. Тогда при сложении получается колебание с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Пусть материальная точка на пружине участвует сразу в двух колебаниях по оси х и по оси у (рис.4.3):

Рис.4.3

или (1)

(2)

Умножим первое на cos φ₂, второе наcos φ₁и найдем их разность:

(3)

Повторим то же самое только первое, умножим на sin φ₂, второе наsin φ₁и найдем их разность:

(4)

Возводя уравнения (3) и (4) в квадрат и складывая, получим:

это есть уравнение эллипса.

В частном случае:

а) при φ₂ – φ₁=0 получим:

- уравнениепрямой.

б) при

- уравнение эллипса, приведенного к осям координат.

Знаки ± указывают только направление вращения материальной точки вдоль траектории – эллипсу (по часовой или против часовой стрелки).

в) при А₁=А₂ получим:

х²+у²=А²– уравнениеокружностис радиусом А.

И, наконец, если частоты ω взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет сложный характер кривых, называемых фигурами Лиссажу.