Поле равномерно заряженной плоскости

Пусть бесконечная плоскость (рис.3.5) заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда  (=dQ/dS–заряд, приходящийся на единицу площади поверхности).

Рис.3.5

Выделим на плоскости площадку Sи окружим ее цилиндрической замкнутой поверхностью с основанием, параллельным плоскости. Так как линии вектора Е перпендикулярны плоскости и параллельны образующим цилиндра, то полный поток через цилиндрическую замкнутую поверхность равен сумме потоков лишь через два ее основания:

N_Е=2ES

Согласно теореме Остроградского-Гаусса

,

Приравняв правые части для N, получим

(3.11)

Из (3.11) следует, что напряженность поля бесконечной заряженной плоскости в точках не зависит от расстояния до них. Следовательно, поле плоскости является однородным.

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей(рис.3.6)

Рис.3.6

Пусть поверхностные плотности заряда плоскостей +и -равны по величине. Как видно из рис.3.6, линии полей слева и справа от плоскостей направлены навстречу друг другу. Поэтому суммарная напряженность поля вне плоскостей Е=0. В области между плоскостями, с учетом (3.11).

(3.12)

Таким образом, поле между плоскостями однородно. Однородным можно считать и поле внутри конечных параллельных плоскостей (плоский конденсатор).

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда. Потенциал

Определим работу по перемещению зарядаQ₀из точки 1 в точку 2, совершаемую полем зарядаQ(рис. 3.7).

Рис.3.7

Так как при движении заряда Q₀сила взаимодействия его с зарядомQ, создающим поле, по закону Кулона зависит от расстоянияr:

,

то сначала определим элементарную работу dAна бесконечно малом участкеdℓ:

dA=Fdℓcosα,

здесь α – угол между векторами Fиdℓ. Учитывая, чтоdℓcosα=dr, найдем полную работу как интеграл:

(3.13)

Отсюда следует, что работа электрического поля не зависит от формы пути, а определяется начальным и конечным положениями заряда Q₀. Это означает, чтоэлектростатическое поле является потенциальным, а его силы – консервативными.

Из (3.13) следует, что работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле вдоль любого замкнутого контура, равна нулю, то есть:

Последнее равенство можно записать, учитывая, что ,

Тогда для электростатического поля имеем:

,

где Е_ℓ=Е сosα– проекция вектора Е на перемещениеdℓ.

Этот интеграл называется циркуляциейвектора напряженности.Для электростатического поля циркуляция вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Из раздела “механика” известно, что работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:

А₁₂=W_n1 –W_n2.

Сравнивая это равенство с (3.13), получим формулу потенциальной энергии заряда Q₀, находящегося в поле зарядаQ:

По мере удаления от заряда Qпотенциальная энергия убывает и можно принять, что в бесконечностиW_п=0, тогда постоянная интегрирования

С = 0

(3.14)

Отношение W_п/Q₀не зависит от заряда и может служитьэнергетической характеристикой поля, называемойпотенциалом поля в данной точке, созданным зарядом Q:

(3.15)

Из формул (3.14) и (3.15) следует, что потенциал поля точечного заряда (шара) Q:

(3.16)

Работа, совершаемая электрическими силами по перемещении заряда Q₀из точки 1 в точку 2, может быть вычислена через разность потенциалов:

А₁₂ =W_п1–W_п2=Q₀(φ₁– φ₂) (3.17)

Если точка 2 находится в бесконечности, то φ₂= 0 и следовательно,

А₁₂ = φ₁Q₀,

откуда

, (3.18)

где Q₀-величина перемещаемого в поле заряда.

Таким образом, потенциал данной точки поля определяется работой, совершаемой силами поля при перемещении единичного заряда из этой точки в бесконечность. За единицу потенциала принятВольт:

Знак потенциала определяется знаком заряда, создающего поле. Если поле образовано системой зарядов, то его потенциал равен алгебраической сумме потенциалов полей всех зарядов (принцип суперпозиции):

Точки пространства с равными потенциалами образуют поверхность, называемую эквипотенциальной. Такой поверхностью, например, является поверхность равномерно заряженной проводящей сферы.

Работа при переменном заряде Qвдоль эквипотенциальной поверхностиA=QΔφ=0.