Вища Математика для Економістів

Очевидно, стовпчики матриці можна вважати набором m- вимірних векторів, а її рядки – набором n-вимірних.

Теорема. Ранг матриці дорівнює рангу набору векторів-рядків та рангу набору векторів стовпчиків.

Наслідок. Рядки (стовпчики) базисного мінору матриці утворюють максимальну лінійно незалежну підсистему набору векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці.

Дослідження множини розв'язків СЛР за допомогою рангів

Розглянемо неоднорідну СЛР, що містить m рівнянь та n невідомих у матричному вигляді (2). Критерій сумісності такої системи дається наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капелі. СЛР (2) – сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, тобто

r A r A .

Дослідження множини розв’язків СЛР за допомогою рангів матриць дається наступною схемою.

СЛР (2) m змінних n рівнянь

Наслідки схеми для однорідних СЛР.

1.Однорідна СЛР завжди сумісна.

2.Якщо m<n, то однорідна СЛР невизначена.

3.Якщо однорідна СЛР – квадратна (m=n), то система невизначена тоді й тільки тоді, коли А 0 .

82

§ 5. Власні вектори та власні значення квадратних матриць.

n-вимірний вектор x 0 називається власним вектором квадратної матриці А n-го порядку, якщо існує дійсне число таке, що виконується співвідношення

сприймається як добуток двох матриць. З означення випливає, що власні вектори – це такі вектори простору, які під дією матриці «розтягуються» в разів, залишаючись паралельними початковому

вектору x .

Знаходження власних значень та власних векторів

Розглянемо (7) як матричний запис СЛР. Зробимо наступні

Це співвідношення називається характеристичним рівнянням матриці А.

З означення визначника випливає, що характеристичне рівняння (9) є раціональним рівнянням n-го степеня відносно невідомої , а саме:

Оскільки власні значення є коренями рівняння (9), то матриця n-го порядку може мати не більше n власних значень.

83

Схема знаходження власних векторів та власних значень.

1. За матрицею А складаємо характеристичне рівняння (9) та

знаходимо відповідний власний вектор x(i ) як розв’язок однорідної СЛР з матрицею А i Е . При цьому, не виписуючи самої системи,

можна одразу робити перетворення методом Гауса для даної матриці. Приклад 10. Знайти власні значення та власні вектори

1 4

матриці А .

9 1 1. Складемо характеристичне рівняння:

84

§ 6. Лінійні економіко-математичні моделі.

Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки (міжгалузевий баланс)

Нехай Г1, ,Гn – галузі виробництва, валовий обсяг продукції кожної галузі, позначимо, відповідно, x1, ,xn . Обсяг кінцевого продукту галузі для невиробничого (ринкового) використання, відповідно, y1, ,yn .

Взаємодію галузей у процесі функціонування описують

i1

Уцих позначеннях обсяг продукції галузі Гi на виробництво

Таким чином, для збалансованого функціонування галузей повинно виконуватись наступні співвідношення балансу:

на зберігання якого потрібно витрачати додаткові кошти, або продукту галузі Гi не буде вистачати для задоволення потреб інших

n

галузей та задоволення ринкового попиту (нерівність xi aij x j yi ).

j 1

З алгебраїчної точки зору співвідношення (10) є неоднорідною системою n лінійних рівнянь з n невідомими x1, ,xn . Для запису цієї СЛР у матричному вигляді, введемо наступні позначення:

85

прямих витрат або структурною матрицею економіки;

продукту або ринкового попиту.

Отже, співвідношення балансу (10) набувають вигляду

Побудована модель дозволяє розв’язати наступні задачі.

1. При заданій матриці прямих витрат А знайти вектор x (скласти план виробництва для підприємств галузей), при якому

задовольняється заданий ринковий попит y . Для цього співвідношення (11) перетворимо наступним чином:

Припустимо, що матриця (Е–А) – невироджена, тобто Е А 0 .

Тоді існує, причому єдина обернена до неї матриця S (E A) 1 , яка називається матрицею повних витрат. Її елементи sij можна інтерпретувати, як величину валового випуску продукції галузі Гi ,

необхідної для забезпечення одиниці кінцевого продукту галузі Г j .

Отже, шуканий вектор x знаходиться множенням обох частин співвідношення (14) на матрицю S, маємо

2.Яким умовам повинна задовольняти матриця прямих витрат

А(умови на взаємодію галузей) для того, щоб ринковий попит на продукцію галузей міг бути задоволений у будь-яких пропорціях,

86

тобто при яких умовах на матрицю А для кожного вектора попиту y (з невід’ємними координатами) можна знайти відповідний вектор валового випуску x (з невід’ємними координатами).

Матриця А називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора y (з невід’ємними координатами) існує розв’язок матричного

рівняння (12) x (з невід’ємними координатами).

Одним з критеріїв продуктивності матриці є наступне твердження.

Твердження. Якщо сума елементів кожного стовпчика матриці

n

не перевищує одиниці ( aij 1, j 1,n ), причому хоча б одна з цих

i 1

сум строго менше одиниці, то матриця А – продуктивна.

Приклад 11. Скласти план випуску продукції галузями Г1,Г2

144

для задоволення ринкового попиту на продукцію галузей y за

63

(очевидно, ця матриця є продуктивною).

галузь Г2 –116,1 одиниць продукції.

Лінійна модель обміну (модель міжнародної торгівлі)

Нехай K1, ,Kn – країни, що приймають участь у міжнародній торгівлі, об’єм коштів, що витрачає кожна країна на міжнародну

87

міжнародної торгівлі та має назву структурної матриці торгівлі. Співвідношення (14) означає, що сума елементів кожного стовпчика цієї матриці дорівнює 1.

Дохід кожної країни Ki від внутрішньої та зовнішньої торгівлі, очевидно, складає

Збалансовану торгівлю забезпечує бездефіцитність торгівлі кожної країни Ki , тобто дохід від торгівлі кожної країни повинен бути не менше об’єму коштів, що вкладає країна на міжнародну

торгівлю: pi xi , i 1,n .

Припустимо, що хоча б для однієї країни ця нерівність виконується як строга. Не порушуючи загальності, можна вважати, що нерівність виконується як строга для країни K1 . Тоді маємо систему нерівностей:

Додамо всі нерівності системи, після групування отримаємо:

припущення було невірним, і для збалансованої торгівлі повинні виконуватись рівності

pi ai1x1 ai 2x2 ain xn xi , i 1,n .

88

З алгебраїчної точки зору маємо систему n лінійних рівнянь з n невідомими, яку можна записати у наступному матричному вигляді:

міжнародну торгівлю.

Висновок. Для збалансованої торгівлі між країнами вектор

коштів x повинен бути власним вектором структурної матриці торгівлі А, що відповідає власному значенню 1 (можна показати, що за виконання умов (14) матриця А завжди має власне значення

1).

Приклад 12. Нехай структурна матриця торгівлі трьох країн

(14) виконується). Знайти вектор коштів, які повинні вкладати країни для збалансованої торгівлі.

Знайдемо шуканий вектор як власний вектор даної матриці, що відповідає власному значенню 1, як розв’язок однорідної СЛР

А Е x 0 . Для цього скористаємось методом Гауса.

Однорідна СЛР, що відповідає останній матриці, має вигляд:

х1 3 а . 2

89

Отриманий результат означає, що для збалансованої торгівлі даних трьох країн об’єми коштів, що виділяються ними на торгівлю повинні знаходитись у співвідношенні 3:4:2.

Завдання для самостійної роботи

Розв’язати систему за допомогою методу Крамера та оберненої матриці:

Дослідити сумісність, знайти загальний розв‘язок системи рівнянь та один частинний розв’язок.

90

Знайти фундаментальну систему розв’язків та загальний розв’язок однорідної СЛР.

91