Вища Математика для Економістів

9. Визначник не зміниться, якщо до елементів довільного його рядка (стовпчика) додати відповідні елементи іншого його рядка (стовпчика), помножені на довільне число.

Зауваження. Остання властивість використовується для спрощення елементів визначника перед використанням теореми Лапласа.

властивістю 9, перетворимо визначник так, щоб всі елементи третього стовпчика обертались в нуль, крім одного елементу. Цей елемент називається ведучим. Нехай ведучим елементом, наприклад, буде одиниця, розташована у третьому рядку та третьому стовпчику. Додамо до елементів першого рядка відповідні елементи третього рядка, помножені на 3; до елементів другого рядка додамо відповідні елементи третього рядка. Після цього розкладемо отриманий визначник за третім стовпчиком, користуючись теоремою Лапласа.

Останній визначник можна порахувати за правилом трикутників або продовжити його спрощення. Винесемо спільний множник елементів другого стовпчика за знак визначника та зробимо нульовими елементи цього стовпчика, вибираючи за ведучий його елемент з третього рядка. Після чого розкладемо отриманий визначник за цим стовпчиком.

52

= 6 (7 7 19 3)= 6 ( 8)=48.

§ 3. Обернена матриця

Нагадаємо, що оберненою до матриці А називається матриця A 1 , яка задовольняє співвідношення A 1 A A A 1 E , де Е – одинична матриця, обернена матриця може існувати лише для квадратних матриць, але не кожна квадратна матриця має обернену.

Якщо визначник матриці А не дорівнює нулю, ця матриця називається невиродженою, інакше матриця А називається

виродженою.

Теорема (необхідна та достатня умова існування оберненої матриці). Обернена до матриці А матриця A 1 існує, причому єдина тоді й тільки тоді, коли матриця А є невиродженою. При цьому

A 1 = 1 A ,

А

де матриця A складається з алгебраїчних доповнень до кожного елементу матриці AТ і називається приєднаною.

Проілюструємо на прикладах використання останньої формули для знаходження оберненої матриці.

Приклад 7. Обчислити обернену для довільної матриці другого

ad bc 0 .

Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці А:

А11 ( 1)1 1 d d , А12 ( 1)1 2 с с , А21 ( 1)2 1 b b , А22 ( 1)2 2 а а .

початковою матрицею, легко помітити, що для побудови приєднаної для матриці другого порядку потрібно елементи головної діагоналі поміняти місцями, а у елементів побічної діагоналі поміняти знак.

53

Очевидно, кількість обчислень сильно зростає з ростом порядку матриці, зокрема для обчислення оберненої до матриці четвертого порядку необхідно підрахувати 16 алгебраїчних доповнень, які складаються з визначників третього порядку. Тому для знаходження обернених до матриць вищих порядків використовується інший метод – метод елементарних перетворень.

Алгоритм методу елементарних перетворень полягає в наступному: справа від матриці А дописують одиничну матрицю такого ж порядку, шляхом елементарних перетворень над рядками матриці А її намагаються звести до одиничної, ті ж перетворення в тому самому порядку здійснюються над відповідними рядками одиничної матриці. Як тільки матриця А перетвориться на одиничну,

на місці одиничної матриці буде знаходитись обернена матриця А 1 . При використанні методу елементарних перетворень не

потрібно обчислювати визначник матриці А, тому з’ясувати, чи існує обернена до неї можна лише під час реалізації методу, а саме: якщо на певному кроці перетворень у матриці А виникне нульовий рядок, то вона є виродженою і оберненої не має. Інакше обернена існує, причому єдина.

54

§ 4. Ранг матриці.

Мінором порядку k, що побудований за елементами матриці, називається визначник, складений з її елементів, що розташовані на перетині k її фіксованих рядків та k фіксованих стовпчиків.

Рангом матриці А називається порядок максимального ненульового мінору, що побудований за її елементами, а будь-який такий мінор називається базисним мінором матриці та позначається Мб . Зауважимо, що у матриці А базисний мінор може

бути не один. Ранг матриці А позначається через r А .

З означення випливає:

1)0 r А min m,n ;

2)r А 0 А 0 (тобто матриця А – нульова);

3)якщо матриця А – квадратна порядку n, то r А n A 0 .

Метод елементарних перетворень знаходження рангу та базисного мінора

Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях над її рядками та стовпчиками.

Для знаходження рангу за допомогою елементарних перетворень матрицю А розмірності m n зводять до

трапецієвидного вигляду:

після чого ранг початкової матриці дорівнює кількості ненульових елементів на головній діагоналі трапецієвидної матриці, тобто r А r .

Для зведення матриці А до трапецієвидного вигляду слід виконати дії за наступним алгоритмом.

1 крок. Серед елементів матриці А шукаємо ненульовий, називаємо його ведучим. За допомогою перестановки рядків та стовпчиків переміщуємо цей елемент на перше місце головної

55

діагоналі та шляхом елементарних перетворень над всіма наступними рядками та ведучим рядком робимо нулі під ведучим елементом.

k-й крок. Серед елементів матриці, отриманої на попередньому кроці, починаючи з k-го її рядка та k-го стовпчика, шукаємо ненульовий (якщо такі рядки та стовпчики ще залишились в матриці).

Якщо такий є, то називаємо його ведучим. За допомогою перестановки рядків та стовпчиків переміщуємо цей елемент на k-те місце головної діагоналі та шляхом елементарних перетворень над всіма наступними рядками та ведучим рядком робимо нулі під ведучим елементом.

Якщо такого немає, то матриця має трапецієвидний вигляд, алгоритм завершено, ранг початкової матриці дорівнює кількості ненульових елементів на головній діагоналі трапецієвидної матриці.

Для знаходження одного з базисних мінорів початкової матриці слід відмітити ненульові елементи головної діагоналі трапецієвидної матриці та повертаючись по перетвореннях алгоритму у протилежному напрямку, відслідкувати їх розташування в початковій матриці. Один з базисних мінорів матриці А буде розташований на перетині тих її рядків та стовпчиків, де знаходяться виділені елементи.

Приклад 9. В залежності від значень параметра с знайти ранг

На першому кроці виберемо за ведучий перший елемент головної діагоналі:

При цьому використовувались наступні перетворення: до другого рядка додавались елементи ведучого (першого) рядка, помноженого на (–2), до третього рядка додавались елементи ведучого, помноженого на (–3), до четвертого рядка додавались елементи

56

ведучого, помноженого на (–4), до п’ятого рядка додавались елементи ведучого, помноженого на (–5).

На другому кроці шукаємо ведучий елемент, починаючи з другого рядка та другого стовпчика останньої матриці (тобто у

виділений елемент:

тобто на другому кроці ведучий рядок ми переставили на друге місце. Інші елементарні перетворення не знадобилися, оскільки під ведучим елементом розташовані нульові елементи.

На третьому кроці вибираємо ведучий елемент у виділеній області останньої матриці (вибраний елемент виділено):

аналогічно попередньому кроку досить було лише переставити третій та четвертий стовпчики.

На четвертому кроці вибираємо ведучий елемент у виділеній області матриці, переставляємо його стовпчик на четверте місце, після чого додаємо ведучий рядок, помножений на (–1), до останнього рядка.

57

На п’ятому кроці шукаємо ведучий елемент у виділеній області

Виникають 2 можливості:

1) с 5 0 с 5 , тоді всі елементи виділеної області нульові, алгоритм припиняється, r А 4 . Відслідковуючи ненульові елементи

головної діагоналі останньої матриці перетворень, знаходимо їх розташування у початковій матриці:

отже, один з базисних мінорів матриці А має вигляд:

переставляємо його стовпчик на п’яте місце, після чого, очевидно, алгоритм припиняється, r А 5 . Відслідковуючи ненульові елементи

58

головної діагоналі останньої матриці перетворень, знаходимо їх розташування у початковій матриці:

отже, один з базисних мінорів матриці А має вигляд:

Завдання для самостійної роботи

С А В 3АТ 5В .

Обчислити визначники.

59

12.При яких значеннях параметра матриця А не має оберненої:

60

14. За допомогою елементарних перетворень знайти матрицю,

Знайти ранг та базисний мінор матриці

19.Знайти ранг та базисний мінор матриці при різних значеннях

3 6 9

61