Вища Математика для Економістів

тим самим n r лінійно незалежних власних векторів, що відповідають власному значенню i .

Наведемо основні властивості власних значень і власних

нього власне значення матриці A , - деяке число. Тоді x є власним вектором матриці A + E , відповідним до власного значення .

Властивість 3. Нехай x і - власний вектор і відповідне до нього власне значення матриці A . Тоді x є власним вектором матриці Am , відповідним до власного значення m , причому m є будь-яким цілим додатним або від’ємним числом, якщо матриця A невироджена, і цілим додатним числом, якщо A - вироджена.

Властивість 4. Власні вектори, відповідні до різних власних значень матриці, є лінійно незалежними.

Властивість 5. Подібні матриці мають однакові характеристичні многочлени.

Дійсно, в силу визначення подібності матриць маємо:

A = Q 1AQ , тоді

det A E det Q 1AQ Q 1EQ det Q 1 A E Q

det Q 1 det A E det Q det A E .

Наслідок. Характеристичний многочлен лінійного перетворення не залежить від вибору базису.

Матриці A n -го порядку називається матрицею простої структури, якщо вона має n лінійно незалежних власних векторів.

Теорема. Матриця має просту структуру тоді й тільки тоді, коли вона подібна до діагональної матриці.

Доведемо необхідність твердження теореми. Нехай матриця A має лінійно незалежні власні вектори x1, x2, ..., xn , відповідні до власних значень 1, 2, ..., n (не обов’язково різних), тобто

123

власними векторами матриці A з власними значеннями i , тобто

матриця A має просту структуру.

Представлення матриці A у вигляді (34) називається діагоналізацією за допомогою перетворення подібності, а матрицю

S називають діагоналізуючою.

Матриця, всі корені характеристичного многочлена якої є простими, має n лінійно незалежних власних векторів і тому є матрицею простої структури.

Якщо характеристичний многочлен має власні значення

називаються дефектними. Дефектна матриця не може бути діагоналізована.

Приклад 14. Нехай векторний простір R3 є множиною радіус-

векторів всіх точок афінного простору S3 . Знайти матрицю A

лінійного перетворення в натуральному базисі e1, e2, e3 , яке полягає в

координати 0, 0, 0; 0, 1, 0; -1, 0, 1 відповідно. Тому матриця лінійного перетворення виглядає так:

124

З іншого боку, запишемо матрицю Q перетворення координат

перетворенні лінійно незалежні вектори a1 і a2 переходять у вектори b1 і b2 відповідно. Знайти матрицю перетворення в натуральному

базисі і в базисі a1 , a2 .

Нехай A - матриця лінійного перетворення в натуральному базисі. Рівності Aa1 = b1, Aa2 = b2 запишемо у вигляді:

Тут Q - матриця переходу від натурального базису до базису a1 , a2 . Отже,

Приклад 16. Знайти власні значення і власні вектори матриці

Після обчислення визначника це рівняння зводиться до вигляду:

125

При 1 2 система фундаментальних розв’язків цієї системи складається з одного вектора x1 2 1 1 T . Його візьмемо за власний

126

§4. Евклідів простір

Векторний простір E називається евклідовим простором, якщо для векторів цього простору виконані такі вимоги:

кожній парі векторів a, b E ставиться у відповідність дійсне число a,b , яке називається скалярним добутком a і b ;

127

скалярний добуток задовольняє аксіомам ( a, b, c - вектори,

-число):

1)a,b b,a ;

2)a + b,c = a,c b,c ;

3)a,b a,b ;

4)a,a 0, a,a 0 a 0 .

i 1

Легко перевірити, що аксіоми скалярного добутку виконуються. Цей евклідів простір називається дійсним евклідовим простором і позначається через En .

Довжиною вектора a евклідова простору E називається величина a a,a . На підставі аксіоми 4) скалярного добутку

довжина ненульового вектора додатна, а довжина нульового вектора дорівнює нулю.

Якщо a E, - число, то a a .

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається

нормованим. Якщо a E, a 0 , то вектор 1 a є нормованим і a

позначається через a . a

Для будь-яких векторів a, b E виконується нерівність Коші-

Буняковського: a,b 2 a,a b,b , причому рівність має місце тоді й тільки тоді, коли вектори a і b лінійно залежні.

Кутом між векторами a, b E називається кут , 0, ,

що визначається рівністю: cos a,b . ab

Вектори a, b E називаються ортогональними a b , якщо

їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Система векторів називається ортогональною, якщо або вона складається з одного вектора, або її вектори попарно ортогональні.

Теорема. Ортогональна система ненульових векторів є лінійно незалежною.

128

Дійсно, припустимо, що вектори a1, a2, ..., am ненульові і попарно ортогональні. Щоб довести їх лінійну незалежність, треба

m

показати, що рівність i ai 0 можлива лише при виконанні умов

i 1

1 ... m 0 .

Помножимо справа обидві частини рівності по черзі на

вектори a1, a2, ..., am лінійно незалежні.

Від довільної системи лінійно незалежних векторів можна перейти до ортогональної системи векторів шляхом так званої

ортогоналізації Грама-Шмідта.

Теорема. Нехай вектори a1, a2, ..., am лінійно незалежні. Тоді

Дійсно, за перший вектор візьмемо b1 a1 і припустимо за

bk , k 1, i 1, тоді ai ,bk ik bk ,bk 0 , звідки

випадку це означало би лінійну залежність векторів a1, a2, ..., ai .

Наведемо основні співвідношення, які мають місце для векторів евклідова простору.

Нерівність трикутника: для будь-яких векторів a,b E

виконується

129

Базис e1, e2, ..., en евклідова простору En називається

ортогональним, якщо вектори цього базису попарно ортогональні. Якщо вектори базису, крім того, нормовані, то базис називається ортонормованим. Отже, для ортонормованого базису маємо:

Отже, в ортонормованому базисі скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів, тобто

Це означає, що координати довільного вектора відносно ортонормованого базису дорівнюють скалярним добуткам цього вектора на відповідні базисні вектори.

130

Встановимо властивості матриці перетворення координат при переході від «старого» ортонормованого базису до «нового» ортонормованого базису. З формули (36) випливає, що

перетворення координат при переході від ортонормованого базису до іншого ортонормованого базису є ортогональною матрицею.

Розглянемо властивості ортогональних матриць.

Теорема. Матриця є ортогональною тоді й тільки тоді, коли її стовпці (рядки) утворюють ортонормовану систему векторів.

Твердження теореми випливає з рівностей QT Q E (для стовпців), QQT E (для рядків).

Теорема. Добуток двох ортогональних матриць є ортогональною матрицею; модуль визначника ортогональної матриці дорівнює одиниці.

Нехай Q1, Q2 - ортогональні матриці, тоді в силу визначення

ортогональності, маємо: Q1Q2 T Q1Q2 QT2 Q1T Q1Q2 QT2 Q2 E . Отже, матриця Q1Q2 є ортогональною.

З властивостей визначників та рівності QT Q E випливає, що

det QT det Q 1, тобто det Q 1.

Матриця A порядку n називається симетричною, якщо для її елементів мають місце рівності: aij aji , i, j 1,n .

Теорема. Для того, щоб симетрична матриця A була представлена у вигляді

A = QΛQT ,

де Q - ортогональна і Λ - діагональна матриці, необхідно і достатньо, щоб стовпці матриці Q були ортонормованими власними векторами,

відповідними до власних значень – діагональних елементів матриці

Λ .

131