Вища Математика для Економістів

Нехай матриця A зведена до ступінчастого вигляду G = LA за допомогою елементарних перетворень з рядками. Далі за допомогою елементарних перетворень з стовпцями обернемо в нуль елементи кожного рядка, розміщені праворуч від провідного елемента, та переставимо стовпці так, щоб перемістити провідні елементи матриці у верхню частину головної діагоналі.

Це перетворення виконується за допомогою множення справа

особливостей матриці A деякі або всі нульові підматриці в можуть не з’явитися. Зокрема, якщо матриця A порядку n є невиродженою,

то LAM = En .

Теорема. Ранг добутку двох матриць не є більшим ніж ранг

Розглянемо матрицю AB A . Очевидно, що r AB r AB A .

Але стовпці матриці AB є лінійними комбінаціями стовпців матриці

нерівність (20).

Наслідок. Множення будь-якої матриці на невироджену матрицю не змінює її ранг.

Нехай матриця B невироджена. На підставі (20) маємо:

r A r ABB 1 r AB , але r AB r A , тому r AB r A .

Аналогічно можна розглянути випадок, коли невиродженою є матриця A .

112

і переставленням рівнянь). Як випливає з теореми про базисний мінор, перші r рядків матриці A є базисними рядками, через які інші рядки представляються як лінійні комбінації. Це означає, що кожне з рівнянь системи, починаючи з r 1 -го, є наслідком перших

r рівнянь. Запишемо систему Ax = 0 у блоковому вигляді:

де A11 -невироджена підматриця порядку r , A12 - підматриця

невідомими. Їм можна надати будь-які числові значення. Координати вектора y називаються базисними невідомими. Вони визначаються

з (23) за допомогою формули y A111A12z .

Отже, всі розв’язки системи Ax = 0 мають вигляд:

Матриця B має розміри n n r і ранг n r , а z є довільним

n r -вимірним вектором. Тому всі вектори підпростору розв’язків є

лінійними комбінаціями n r лінійно незалежних стовпців матриці

B .

Розглянемо неоднорідну систему рівнянь Ax = b, b 0 .

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того, щоб система Ax = b

була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці системи, тобто

комбінацією стовпців матриці A . Тому r A r Ab .

Аналогічно доводиться достатність твердження теореми. Теорема. Загальний розв’язок неоднорідної системи Ax = b

дорівнює сумі загального розв’язку відповідної однорідної системи і окремого розв’язку неоднорідної системи.

114

A f0 + x = Af0 + Ax = b + 0 = b . Отже, f0 x є загальним розв’язком неоднорідної системи.

З’ясуємо геометричний зміст множини розв’язків неоднорідної

координатах усяка m -вимірна площина може бути задана системою Ax = b з матрицею A рангу n m .

Наслідок. Гіперплощина визначається одним лінійним рівнянням a11x1 a12x2 a1n xn b1 .

Кожне з рівнянь системи Ax = b з матрицею A рангу n m можна розглядати як рівняння деякої гіперплощини і кожну m - вимірну площину можна розглядати як перетин n m гіперплощин.

Якщо система несумісна, то це означає, що не існує жодної точки, що належить всім гіперплощинам, які задаються рівняннями системи.

Приклад 8. Визначити ранг матриці

За допомогою елементарних перетворень з рядками зведемо матрицю A до ступінчастого вигляду:

115

У ступінчастій матриці G два ненульових рядки, тому

r A r G 2.

Приклад 9. З’ясувати, чи є вектори

a1 1 1 1 0 T , a2 1 2 3 2 T , a3 3 1 1 4 T , a4 2 1 0 2 T

лінійно залежними і у випадку позитивної відповіді знайти лінійні залежності між цими векторами. Яка вимірність підпростору, породженого векторами a1, a2, a3, a4 ? Які з цих векторів можна взяти

за базис підпростору?

Складемо матрицю, рядками якої є координати векторів a1, a2, a3, a4 . Запишемо також в останньому стовпці вектори a1, a2, a3, a4 . Одержану матрицю перетворимо до ступінчастого вигляду:

Вектори a1, a2, a3, a4 є лінійно залежними, бо ранг одержаної матриці (без останнього стовпця) дорівнює 2, тобто є меншим, ніж 4.

Отже, вимірність підпростору, породженого векторами a1, a2, a3, a4 , дорівнює 2 і перші два вектори є лінійно незалежними. Тому їх можна взяти за базис підпростору.

Приклад 10. З’ясувати, чи утворюють базис простору R3

116

Складемо матрицю, рядками якої є координати векторів a1, a2, a3, b , і запишемо ці вектори в останньому стовпці. Далі перетворимо матрицю до ступінчастого вигляду:

Ранг матриці дорівнює 3, тому можна стверджувати, що вектори a1, a2, a3 утворюють базис. З четвертого рядка одержаної

Приклад 11. Знайти загальний розв’язок і фундаментальну систему розв’язків для однорідної системи рівнянь

x1 3x2 x3 2x4 9x5 0,

x1 5x2 3x3 2x4 3x5 0,

Перетворимо матрицю системи за методом Гаусса:

Отже, ранг матриці системи дорівнює 2, x1, x2 - базисні невідомі, а x3, x4 , x5 - вільні невідомі. Згідно з перетвореною матрицею запишемо систему рівнянь:

Звідси знаходимо базисні невідомі:

117

вектори 2 1 1 0 0 T , 8 2 0 1 0 T , 27 6 0 0 1 T , тобто

підпростір розв’язків є тривимірним.

Приклад 12. Знайти загальний розв’язок неоднорідної системи рівнянь:

Перетворимо розширену матрицю системи за методом Гаусса:

118

Перший доданок правої частини цієї формули є окремим розв’язком неоднорідної системи, а другий доданок – загальним розв’язком відповідної однорідної системи.

Приклад 13. Знайти систему рівнянь, яка визначає

x1 2x2 x3 0,

x1 3x2 x4 0.

Одержана система рівнянь визначає підпростір, натягнутий на вектори a1, a2, a3 .

§3. Лінійні перетворення у векторному просторі

Лінійним перетворенням A у векторному просторі R

називається правило, за яким кожному вектору x R ставиться у відповідність вектор Ax R так, що виконуються наступні умови:

для будь-яких векторів x, y R виконується A x + y Ax + Ay ;

119

Нехай у векторному просторі Rn , базис якого e1, e2, ..., en , задано лінійне перетворення A . Застосуємо це перетворення до базисних векторів. Одержимо Ae1, Ae2, ..., Aen - вектори простору

Rn . Розкладемо їх за базисом:

координат векторів x і y у базисі e1, e2, ..., en простору Rn . Припустимо, що y = Ax , тоді за означенням лінійного перетворення маємо:

120

називається перетворенням подібності, якщо має місце формула (28), де Q - невироджена матриця.

Отже, дві матриці, відповідні до одного і того ж лінійного перетворення в різних базисах подібні між собою, причому матриця Q є матрицею перетворення координат при переході від «старого» базису до «нового».

121