Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища Математика для Економістів

.pdf

Скачиваний:

573

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

5.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 5523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Середній приріст витрат виробництва є TC . Це приріст

витрат виробництва на одиницю приросту кількості продукції.

Граничними витратами виробництва називається границя

MC lim TC TC (x)..

x 0 x

Граничні витрати виробництва збігаються зі швидкістю зміни витрат виробництва. Величина TC (x) характеризує наближено додаткові витрати на виробництво одиниці додаткової продукції.

2. Позначимо TR(x) доход від продажу х одиниць товару. Граничним доходом називається границя

MR lim TR TR (x) .

x 0 x

3. Нехай виробнича функція y f (x) встановлює залежність випуску продукції у від витрат ресурсу х.

Граничним продуктом називається границя

lim f f (x) .

x 0 x

Еластичність функції.

В економічних дослідженнях широко використовується поняття еластичності. Це зумовлено тим, що в багатьох задачах зручніше обчислювати відсоток приросту (відносний приріст) залежної змінної, котрий відповідає відсотку приросту незалежної змінної. Це і приводить нас до поняття еластичності функції (інколи її

називають відносною похідною).		y f (x) ,
	Отже, нехай задана функція	y f (x) ,	для якої існує похідна
y
y	f (x).
	Еластичністю функції	y f (x)	відносно змінної х

називають границю відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при x 0 :

lim	y	y	x
		x
x 0 x			y

Її позначають Ex (y). Отже,

Ex (y) x y

	y		x
lim
x 0	x		y
		x dy		.

f (x)

y dx

222

Величину Ex (y) при заданому значенні х називають також

показником, або коефіцієнтом, еластичності. Еластичність відносно х є наближений відсотковий приріст функції (підвищення або зниження), що відповідає приросту незалежної змінної на 1%.

Властивості еластичності функції:

1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної х

	y
		, тобто
на темп зміни функції Ty (ln y)
	y

Ex (y) xTy .

2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:

Ex (uv) Ex (u) Ex (v);

Ex Ex (u) Ex (v).

3. Якщо C const , то Ex (Cu) Ex (u).

Еластичність функції застосовується для аналізу попиту і споживання. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або прибутку х) – коефіцієнт, що показує наближено, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг споживання) за умови зміни ціни (або прибутку) на 1%.

Якщо еластичність попиту (за абсолютною величиною)

	Ex (y)	1, то	попит	вважають		еластичним,	якщо	Ex (y)	1 -
нейтральним,			якщо	Ex (y)	1 -	нееластичним	відносно	ціни (або

прибутку).

Взагалі, високий коефіцієнт еластичності означає слабкий ступінь задоволення потреби; низький – вказує на більшу потребу в даному товарі.

Приклад 10. Попит (ціна за одиницю товару) представлений функцією від кількості холодильників:

P 2400 0,2Q,

де Р вимірюється в гривнях, Q – в штуках холодильників, що користуються попитом у споживачів. Фірма хоче визначити еластичність ціни попиту для кількості холодильників 2000 штук.

Маємо

Р(200)=2400-0,2·2000=2000.

Далі,

dP	0,2;	EP	dP	:	P	0,2 :	2000	0,2.

dQ			dQ Q			2000

223

Значить, якщо ціну одного холодильника зменшити на 0,2%, то попит на холодильники збільшиться на 1% (з 2000 штук збільшиться на 20 штук).

На цьому прикладі ми бачимо, що можна розглядати і обернену залежність:

EQ	dQ		:	Q		1	.
	dP			P
						EP
Тоді (для нашого прикладу)			1
EP					5,
		0,2

що означає, що збільшення ціни на 1 холодильник на 1% приводить до зменшення попиту на холодильники на 5% (з 2000 штук зменшиться на 100 штук).

Приклад 11. Нехай функція TC(x) 20x	x 2
		встановлює
	20

залежність витрат виробництва від кількості х продукції, що випускається. Знайти граничні витрати виробництва і коефіцієнт еластичності, якщо обсяг продукції складає 100 одиниць, 20 одиниць.

1. Граничні витрати виробництва є похідна від функції витрат

														x
																		.
						TC (x) 20												.
При відповідних обсягах продукції:												10
При відповідних обсягах продукції:										100
										100
		TC (100) 20																10;
		TC (100) 20										10						10;
												10
										20							18.

				TC (20) 20						10
										10
Отже, чим більше виробляється продукції, тим повільніше
ростуть витрати на її випуск.
2. Еластичність функції									x		dy
						Ex (y)			x		dy				.
						Ex (y)									.
									y dx
У нашому випадку y(x) TC(x) 20x												x 2
																;
												20				;
						x						20							2(200 x)
Ex (TC)						x		20				10							2(200 x)				;

							x 2						x							400 x
				20x			x 2						x							400 x
				20x
	2 100		20																	2 180
E100 (TC)	2 100				2	0,67;		E20 (TC)												2 180		18		0,95.
E100 (TC)						0,67;		E20 (TC)											380					0,95.
300			3																380		19

Отже, якщо при обсягу випуску 100 одиниць кількість продукції, що випускається, збільшиться на 1%, тобто на 1, то

224

відносні витрати виробництва збільшаться приблизно на 0,67%; при обсягу 20 одиниць збільшення випуску продукції на 1% призведе до збільшення відносних витрат приблизно на 0,95%.

Застосування похідної в економічній теорії.

Розглянемо економічну інтерпретацію теореми Ферма.

Один з базових законів теорії виробництва звучить так: оптимальний для виробника рівень випуску товару визначається рівністю граничних витрат і граничного доходу.

Тобто рівень випуску x0 є оптимальним для виробника, якщо

MC x0 MR x0 , де MC – граничні витрати, а MR – граничний доход. Позначимо функцію прибутку Z(х). Тоді Z(x)=TR(x)-TC(x).

Очевидно, що оптимальним рівнем виробництва є такий, при якому прибуток максимальний, тобто таке значення випуску x0 , при якому функція Z(х) має екстремум (максимум). За теоремою Ферма в цій

точці		. Але
точці	Z (x) 0	. Але	Z (x) TR (x) TC (x) , тому			TR (x	0 ) TC (x0 ), тобто

MC x0 MR x0 .

Друге важливе поняття теорії виробництва – це рівень найбільш економічного виробництва, при якому середні витрати на виробництво товару мінімальні. Відповідний економічний закон говорить: рівень найбільш економічного виробництва визначається рівністю середніх та граничних витрат.

Отримаємо цю умову як наслідок теореми Ферма. Середні

витрати AC(x) визначаються як TC(x) , тобто витрати на виробництво x

товару, поділені на вироблену його кількість. Мінімум цієї величини досягається в критичній точці функції у=AC(x), тобто при умові

TC x TC

, звідки

x TC 0

або

, тобто

AC (x)

x 2

MC(x)=AC(x).

Поняття опуклості функції також знаходить свою інтерпретацію в економічній теорії.

Один з найбільш відомих економічних законів – закон спадної доходності – звучить таким чином: зі збільшенням виробництва додаткова продукція, отримана на кожну нову одиницю ресурсу (трудового, технологічного і т.д.), з деякого моменту спадає.

Іншими словами, величина y , де x - приріст ресурсу, а y -

приріст випуску продукції, зменшується при збільшенні х. Таким чином, закон спадної доходності формулюється так: функція y f (x) ,

225

що виражає залежність випуску продукції від вкладеного ресурсу, є функцією опуклою вгору.

Іншим базисним поняттям економічної теорії є функція корисності U U (x), де х – товар, а U – корисність. Ця величина дуже суб’єктивна для кожного окремого споживача, але досить об’єктивна для суспільства у цілому. Закон спадної корисності звучить так: із зростанням кількості товару додаткова корисність від кожної нової його одиниці з деякого моменту спадає. Очевидно, що цей закон можна пере формулювати так: функція корисності є функцією опуклою вгору. У такій постановці закон спадної граничної корисності є початковим пунктом для математичного дослідження теорії попиту та пропозиції.

Приклад 12. Підприємство виробляє х одиниць продукції за

ціною P(x) 50 1 x , а витрати виробництва задаються функцією

TC(x) 1 x 2 14x 800. 50

Знайти оптимальний для підприємства обсяг випуску продукції та відповідний йому максимальний випуск.

Нехай TR(x) – валовий доход, Z(x) – прибуток від реалізації х одиниць продукції за ціною Р(х).

Тоді

TR(x) x P(x); Z(x) TR(x) TC(x),

де Р(х), TC(х) – задані функції.

Для розв’язання задачі слід досліджувати функцію Z(x) на екстремум. При цьому прибуток буде максимальним для такого обсягу х випуску продукції, для якого Z (x) 0, Z (x) 0.

Проведемо це дослідження.

1. Формуємо Z(x), знаходимо Z (x) і, розв’язавши рівняння

Z (x) 0, знаходимо критичну точку. Врахуємо, що

		TR(x) 50x				1		x 2, TC(x)			1	x 2	14x 800;
						10
										50
						Z(x) TR(x) TC(x);

			Z (x) TR (x) TC (x)							0; TR (x) TC (x);
50	1	x		1	x 14;		6		x 36;	x 150 - критична точка.
			25			25
5

2. Знаходимо Z (x) і визначаємо її знак при х=150:

226

	1	1	6	0.

Z (x) TR (x) TC (x)	5	25	25

Отже, х=150 – точка максимуму функції Z(x), тобто оптимальний обсяг виробництва складає 150 одиниць продукції.

3. Знаходимо максимальний прибуток виробництва, тобто

Zmax Z(150).

При

х=150

ціна P 50

150 35;

валовий

доход

TR 35 150 5250.

Витрати

виробництва

1502 14 150 800

=450+2100+800=3350; максимальний

прибуток

від продажу

Z max 5250 3350 1900.

Завдання для самостійної роботи

Знайти похідні функцій:

8 ln

x 4 ln x 1

1. y

2. y x

3. y 3

e3x 5

4. y 4 1 e4x

x 1 x 2

5. y ln 3

1 3x 2

6. y ln

1 x 2

1 3x

7. y 3x ln1 x 2

8. y x 3 ln2 x

10.y xe2x 3 5

9. y

1 e4x

e4x

11. y

1)ln

1 x

12. y sin(x 2

2x )

1 x

lncos x

13. y 4e

ln x

)

ln x

14.

cos x

15. y cos2 x lntg

16.y ln(

1 e x

1) ln(

1 e x 1)

17. y e x

cos x

ln sin x

18.

lntg

2sin2 x

20.

arcctgx

19. y

sin x

cos2

cos4

1 x 2

227

21.

1 x 2 arccos x

22.

y arcctg

ln(x 2 a2 )

23.

3x 6 4x 4

x 2 2

24.

e x2

15 1 x 2

1 x 2

25.

y ln ln2 ln3 x

26.

y tg

sin2 31x

cos 1 3

tg x

2 1

31cos 62x

y x ex

27.

y arctg

28.

x 9

arcsin x

1 x

29.y arcsin e

ln e

30.

1 x 2

1 x

tgx

31.

2tgx

tgx

2tgx 1

Знайти похідні функцій та обчислити їх значення при x x0 :

32.

1 ln

x ;

x0 1

33.

y ln x x

; x

34.

y sin x e cos x ;

35. y ln 4

1 tgx

; x0

1 tgx

Знайти похідну параметрично заданої функції y

, якщо

36.

x t 3 3t 1,

y 3t5 5t 3 1

37. x a cos t, y a sin t

x e

sint,

cos t

38.

39. x

t 1 t,

1 1 t 2

40.

x ln t 1

Знайти похідну неявно заданої функції

41.

x 3 y3

3xy 0

42. x 4 6x 2y2 9y4

5x 2 15y2

100 0

43.

x y

y x

44. x siny y sin x 0

e x

2xy

46. sin y x 2 ln y x 2 2

45.

1 0

y x 2 3 0

47.

ey / x 3

48. x y2

y2 ln x 4 0

49. Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої y 63x 16 4x 3 в точці x0 1.

228

50. Скласти рівняння дотичної до кривої y 4 x 2 : а) в точці х=2; б)

в точці перетину з віссю Оу.

51. Задана крива y x 2 2x. Скласти рівняння дотичних: а) в точках перетину її з прямою 3x y 2 0; б) паралельно та перпендикулярно

до цієї прямої.

52.

Скласти

рівняння

дотичної

та

нормалі

до кривої

x 2 2xy2

3y4

6 в точці М(1;-1).

Знайти диференціали функцій:

arcsin

x 6

55.

y arctge 2x

53.

49 x 2

54. y

x 6

56.

y x

x 2 1 ln

x x 2

57.

Знайти dy,

d2y, d3y , якщо y x(ln x 1).

58.

Знайти d

, якщо y ln x

Використовуючи поняття диференціала, знайти наближене значення:

59.

67,84

60. e

1,03

61. ln

0,1 0,1

62.

arctg1,05

63. tg460

64. lntg47015

Знайти похідні другого порядку:

65.

66. y

x 2(2 ln x 3)

x 5

x arcsin x

67.

x 2 1 x 2

1 x 2

68.

x sin 3x

cos 3x

Знайти похідні третього порядку:

69.

70. y

ln2 x

71. y (2x 3)3

2x 3

6(x 1)

Знайти похідну четвертого порядку:

72.

y x 3

3 e 4x 3

Знайти похідні порядку n:

73.

y xn

74. y

75. y 5 3 cos2 x

2x 1

76.

y 2x

2 x

77. y

ax b

78. y ekx

cx d

y 32x 5

79.

229

Обчислити границі, використовуючи правило Лопіталя:

80.lim x3 x 2 6x

x x 3 x 16

82.	lim		ln x 2			3
				3x 10
	x 2 x 3
85.		1				1
	lim

	x 0 x				e x 1

87.lim(xctg x)

x 0

90.lim ( 2x)cos x

81.

lim

x 3 x 2

5x 3

x 1 x 3 4x 2 5x 2

83.

lim

x 3 1

84.

lim

e x2

x 2

x 1 ln x

x 0

86.

x x

lim x ln x

88. lim(arcsin x ctgx )

89. lim(1 cos x) ctgx

x 0

91.lim(cos x)3x2

x 0

1 x

tgx 1 x2

92.

lim x 2

93. lim

x 0 x

Знайти інтервали зростання і спадання функцій:

94.

y 2 3x x 2

95. y x 2 1 3 2

96.

y xe x

97. y (2 x)(x 1)2

Знайти точки екстремуму функцій:

98.

y x 3 2x 2 7x 4

99. y

x 3

1 x

100.

y x ln2 x

101.

ln2 x 1

102.

y ln(2 cos x)

103.

105.

y x 4

4x 3

6x 2 4x

104.

y (2x 1)3 (x 3)2

106.

y x 2sin2 x

107.

y e1,5 sin x

Знайти найбільше та найменше значення функцій:

108.y 3x 2 6x на відрізку [0;3]

109.y x 4 2x 2 3 на відрізку [-3;2]

110. y	1 x	на проміжку (1;e]

	ln x

Знайти точки перегину та інтервали опуклості функцій:

111.	y 2x 3	3x 2	15	112.	y 2x 2 ln x
113.	y x 3 6x 2			114.	y xe x
115.	y e x2

Знайти асимптоти графіків функцій:

230

116.	y		3	4x	117.	y	1		x 2
				5x
									x 2
		2				1
118.	y	1 x 2			119.	y			3x5

		1 x 2						2 x 4

120.y 2x 3 ln x

x2 1

Дослідити функції та побудувати їх графіки:

121.	y x 2 x		122.	y x 2		1
121.	y x 2 x		122.	y x 2		x 2
						x 2
123.	y	(x 1)2	124.	y x 3	12x 2		36x
123.	y	(x 1)2
		(x 1)2

125.y x 27


127.	y e	3 x2
129.	y 16x(x 1)3
131.	y x e x
133.	y e2x x2

126.	y (2 x)e x
128.	y		x
128.	y		ln x
			ln x
130.	y (x 1)
130.	y (x 1)			x

132.					x	2	1
132.	y ln x				x		1

134.	y		x 3
134.	y	(x 2)2
		(x 2)2

135. Підприємство по виробництву холодильників має таку функцію прибутку від виробництва холодильників Q:

Z Q 2 540Q 15000 .

а) Знайти кількість холодильників, при якій прибуток максимальний. б) Знайти величину прибутку в цій точці.

в) Збільшиться чи зменшиться прибуток при Q=250? Чому?

136. Фірма виробляє персональні комп’ютери. Загальний доход TR і загальні витрати TC представлені у вигляді функцій від кількості комп’ютерів Q:

TR 2Q 2 1800Q, TC Q 2 600Q 80000.

а) Знайти функції граничного доходу MR та граничних витрат МС.

б) Використовуючи ці функції, знайти кількість комп’ютерів, що максимізує цей прибуток.

в) Якою буде ціна комп’ютерів при заданій кількості? г) Який максимальний прибуток?

231

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 5523 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201663.49 Кб187Вирішення задач по земельному праву.doc
#
19.03.201546.15 Кб22ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170.5 Кб4Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590.27 Кб19Витяг - Види трудових договорів.docx
#
24.11.20191.22 Mб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20155.79 Mб573Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201958.72 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928.38 Кб2ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
31.08.2019184.83 Кб1Влада і норми поведінки в первісному суспільств...doc
#
07.03.2016757.67 Кб19Вовк_Фольклористична_спадщина_викладачів.pdf
#
19.03.2015375.81 Кб21Волхвы.doc