Вища Математика для Економістів

Послідовність xn називається зростаючою (спадною), якщо для будь-якого n Ν виконується нерівність xn 1 xn xn 1 xn .

Послідовність xn називається неспадною (незростаючою),

якщо для будь-якого n Ν виконується нерівність xn 1 xn xn 1 xn .

1.Збіжна послідовність має тільки одну границю.

2.Будь-яка підпослідовність збіжної послідовності має ту саму границю, що й сама послідовність.

3.Послідовність xn збігається до a тоді й тільки тоді, коли послідовність xn a є нескінченно малою.

4.Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

5.Алгебраїчна сума двох (або будь-якого скінченого числа) нескінченно малих є нескінченно малою.

6.Добуток двох (або будь-якого скінченого числа) нескінченно малих є нескінченно малою.

7.Добуток нескінченно малої на обмежену є нескінченно малою.

8.Для того, щоб послідовність n n 0 була нескінченно

172

13.Обмежена зверху (знизу) неспадна (незростаюча) послідовність є збіжною.

14.З будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

15.Для того, щоб послідовність збігалась, необхідно й достатньо, щоб вона була фундаментальною.

Відомо, що важлива послідовність xn із загальним членом

де e константа Ейлера, e 2,7182818 .

При знаходженні границь послідовностей корисно пам’ятати,

що

Скористаємося означенням границі послідовності. Для даної послідовності нерівність xn a має вигляд

частину числа.

173

Чисельник і знаменник дробу є нескінченно великі

послідовності, тому маємо невизначеність типу . Для розкриття

цієї невизначеності винесемо в чисельнику і знаменнику дробу за дужки старші степені n . Дістанемо

нескінченно велика, то задана послідовність є нескінченно великою, тобто

.

Приклад 4. Знайти границю послідовності xn n2 3n 2 n .

невизначеності помножимо і поділимо загальний член послідовності на спряжений до нього вираз.

174

і скористаємося границею (2). Одержимо:

175

3n 4 8n 2

§2. Границя функції

Поняття границі функції є узагальненням поняття границі послідовності, оскільки границю послідовності можна розглядати як границю функції xn=f(n) цілочисельного аргументу n.

Нехай задана функція f(x) і нехай a - гранична точка області визначення цієї функції D(f), тобто така точка, будь-який окіл якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Точка a може належати множині D(f), а може й не належати їй.

Постійне число А називається границею функції f(x) при x a, якщо для будь-якої послідовності {xn} значень аргументу, що прямує до а, відповідні їм послідовності {f(xn)} мають одну й ту ж границю А.

Це означення називають означенням границі функції за Гейне, або “на мові послідовностей”.

Постійне число А називається границею функції f(x) при x a, якщо, задавши довільне як завгодно мале додатне число , можна знайти таке >0 (що залежить від ), що для всіх x, що лежать в -околі числа а, тобто для x, що задовольняють нерівність 0< x-a < , значення функції f(x) будуть лежати в -околі числа А, тобто f(x)-A < .

Це означення називають означенням границі функції за Коші, або “на мові - “.

Означення 1 і 2 рівносильні. Якщо функція f(x) при x a має границю, рівну А, це записується у вигляді

xa

Уцьому випадку, якщо послідовність {f(xn)} необмежено зростає (або спадає) при будь-якому способі наближення x до своєї границі а, то будемо говорити, що функція f(x) має нескінчену границю, і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), що має своєю границею нуль, називається нескінченно малою величиною

lim (x) 0 .

x a

176

Змінна величина, що має нескінчену границю, називається

нескінченно великою величиною

lim (x) .

x a

малою n-го порядку відносно (x).

Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити еквівалентними. Цей факт широко використовується при обчисленні границь.

Важливі еквівалентні нескінченно малі

1)sin x tgx arcsin x arctgx ln(1 x) e x 1 х, x 0

2)a x 1 x lna , x 0

3)loga (1 x) x loga e , x 0

4)(1 x) 1 x , x 0

Для відшукання границь на практиці користуються такими

Зауваження. Вирази вигляду 0/0, / , 0 , - є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і відшукання границь такого вигляду має назву “розкриття невизначеностей”.

177

тобто можна переходити до границі в основі степені при постійному

де e 2.718282... - основа натурального логарифма. Формули (10) та

(11) мають назву першої та другої чудової границі.

Використовуються на практиці й наслідки формули (11):

Якщо x a і при цьому x>a, то пишуть x a+0. Якщо, зокрема, a=0, то замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно, якщо x a і при

відповідно границею справа та границею зліва функції f(x) в

точці а. Для існування границі функції f(x) при x a необхідно та

178

Умову (15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона неперервна в даній точці.

Якщо рівність (15) порушується, то говорять, що при x=xo функція f(x) має розрив. Розглянемо функцію y=1/x. Областю визначення цієї функції є множина R, крім x=0. Точка x=0 є граничною точкою множини D(f), оскільки в будь-якому її околі, тобто в будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(xo)=f(0) не визначене, тому в точці xo=0 функція має розрив.

Функція f(x) називається неперервною справа в точці xo,

якщо

lim f (x) f (x0 ),

xx0 0

інеперервною зліва в точці xo, якщо

lim f (x) f (x0 ).

x x0 0

Неперервність функції в точці xo рівносильна її неперервності в цій точці одночасно і справа і зліва.

Для того, щоб функція була неперервна в точці xo, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала скінчена границя

lim f (x), а по-друге, щоб ця границя була рівна f(xo). Значить, якщо

x x0 0

хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція буде мати розрив.

говорять, що функція f(x) в точці xo має розрив першого роду, або стрибок.

або не існує, то говорять, що в точці xo функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y=ctgx при x +0 має границю, рівну + , значить, в точці x=0 вона має розрив другого роду. Функція y=E(x) (ціла частина від x) в точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

179

Функція, неперервна в кожній точці замкненого інтервалу (відрізку) [a,b], називається неперервною на [a,b]. Неперервна функція зображається суцільною кривою.

Властивості функцій неперервних на відрізку

1.(І теорема Вейерштраса). Якщо функція неперервна на відрізку [a,b], то вона обмежена на цьому відрізку.

2.(ІІ теорема Вейерштраса). Якщо функція неперервна на відрізку [a,b], то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого значення m та найбільшого значення М.

3.(Теорема Коші). Якщо функція неперервна на відрізку [a,b]

і значення її на кінцях відрізку мають протилежні знаки, то всередині відрізку знайдеться точка (a,b) така, що

f ( ) 0 .

До другої чудової границі приводять різноманітні задачі, пов’язані з неперервним ростом якої-небудь величини. До таких задач, наприклад, відносяться: зростання вкладу за законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій та т.п.

Розглянемо приклад, що дає інтерпретацію числа e в задачі

процентні гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки в утворенні відсотків приймає участь велика сума. Візьмемо чисто теоретичний, досить спрощений приклад. Нехай в банк покладено 100 грош. од. з розрахунку 100% річних. Якщо процентні гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то до цього терміну 100 грош. од. перетворяться на 200 грош. од. Подивимось тепер, на що перетворяться 100 грош. од., якщо процентні гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після закінчення півроку 100 грош. од. виростуть у 100 1,5=150, а ще через півроку - у 150 1,5=225 (грош. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то після закінчення року 100 грош. од. перетворяться на 100 (1+1/3) 237 (грош. од.). Будемо частіше робити терміни приєднання процентних грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді з 100 грош. од. через рік вийде:

100 (1+1/10)10 259 (грош. од.), 100 (1+1/100)100 270 (грош. од.), 100 (1+1/1000)1000 271 (грош. од.).

При нескінченому скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до деякої границі, яка дорівнює приблизно 271. Більше ніж в 2,71 разів

180

капітал, покладений під 100% річних, збільшитись не може, навіть якщо б нарощені відсотки приєднувались до капіталу кожної секунди, тому що

Приклад 8. Довести, що lim(2x 3) 5 .