Вища Математика для Економістів

Варіанти індивідуальних завдань

Завдання 1. Обчислити визначники матриць та знайти обернену, якщо це можливо.

62

63

РОЗДІЛ IІІ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

§ 1. Поняття системи лінійних рівнянь (СЛР) та її геометрична інтерпретація.

Основні поняття теорії системи лінійних рівнянь (СЛР)

Система m лінійних рівнянь з n невідомими записується у вигляді:

де x1, x2, ..., xn – невідомі системи, aij – коефіцієнт при невідомій xj в

і-му рівнянні, bі – вільний коефіцієнт в і-му рівнянні.

Матрицею СЛР (1) називається матриця коефіцієнтів при невідомих, тобто

Розширеною матрицею СЛР (1) називається матриця

64

Очевидно, між системами лінійних рівнянь та їх розширеними матрицями існує взаємно однозначна відповідність (тобто по системі однозначно виписується розширена матриця, та по розширеній матриці однозначно виписується система).

За допомогою введених понять СЛР (1) можна подати у наступному матричному вигляді:

рівність двох матриць Аx та b розмірності m 1. Приклад 1. Записати у матричному вигляді СЛР:

1

членів b , отже, система у матричному вигляді записується:

0

Очевидно, виконуючи операцію множення матриць, отримаємо початкову СЛР.

Однорідною називається система лінійних рівнянь, що має

нульовий стовпчик вільних членів, b 0 .

Неоднорідною називається система лінійних рівнянь, хоча б один елемент стовпчика вільних членів якої є ненульовим.

Розв’язком системи лінійних рівнянь, що містить n

невідомих, називається впорядкований набір з n дійсних чисел – n-

65

системи замість відповідних змінних всі рівняння перетворюються на числові тотожності.

За множиною розв’язків системи поділяють на наступні види. Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо має

хоча б один розв’язок, та несумісною, якщо розв’язків не має. Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною,

якщо має єдиний розв’язок, та невизначеною, якщо розв’язків більше одного.

Проілюструємо введені поняття на системі з прикладу 1.

розв’язком системи) та невизначеною, оскільки можна перевірити, що

Зауваження. Очевидно, однорідна СЛР завжди сумісна, оскільки нульовий вектор завжди є її розв’язком.

Геометрична інтерпретація СЛР двох рівнянь з двома невідомими

Розглянемо СЛР

66

Геометричним образом кожного рівняння системи (3), очевидно, є прямі на площині x1Ox2, які ми позначимо l1 та l2; розв’язок системи (3) можна інтерпретувати як спільну точку цих прямих. Розглянемо всі можливі випадки для СЛР (3):

1) СЛР (3) – несумісна

кількість невідомих.

Ланцюги цих еквівалентностей показують зв’язок між системами лінійних рівнянь, їх геометричними образами, визначниками та рангами відповідних матриць.

Якщо СЛР містить три невідомі, то геометричним образом кожного рівняння буде площина у просторі (система з прикладу 1 задає перетин двох непаралельних площин який утворює пряму у просторі, тобто система сумісна та визначена), взаємне розташування яких, у загальному випадку, важко проаналізувати геометрично. З іншого боку, проаналізувати множину розв’язків таких систем можна на мові рангів відповідних матриць. Більш того, зв’язок між рангами

матриць А, А та множиною розв’язків СЛР, подібний наведеному в цих еквівалентностях, буде мати місце і для СЛР довільної розмірності, де геометрична інтерпретація стає неможливою.

§ 2. Квадратні невироджені системи лінійних рівнянь.

Квадратною невиродженою системою лінійних рівнянь

називається система з квадратною матрицею А, що має ненульовий визначник.

67

Зауваження. Для таких СЛР очевидно r(A) r(A) n , де n – кількість невідомих. Виявляється, що такі системи будуть завжди сумісними та визначеними, єдиний розв’язок яких можна знайти наступними методами.

Метод оберненої матриці. Матричні рівняння.

Розглянемо квадратну не вироджену СЛР у матричному вигляді

Оскільки А 0 , то існує, причому єдина, обернена до матриці

А матриця А 1 . Помножимо обидві частини рівності (4) зліва на

Єдиність отриманого розв’язку випливає з єдиності оберненої матриці.

Приклад 2. Розв’язати методом оберненої матриці наступну

СЛР:

x1 x2 x3 3

2x1 x2 x3 11

Узагальнюючи наведений метод, розглянемо найпростіші матричні рівняння, тобто рівняння, що містять матрицю невідомих Х.

68

Обернені до матриць А і В можна знайти за правилом, сформульованим у прикладі 7 розділу ІІ.

Метод Крамера

Теорема. Квадратна невироджена СЛР сумісна та визначена, єдиний її розв’язок можна отримати за формулами

(формули Крамера)

заміною j-го стовпчика стовпчиком вільних членів. Приклад 4. Розв’язати методом Крамера наступну СЛР:

x1 x2 x3 3

2x1 x2 x3 11x1 x2 2x3 8

69

§ 3. Розв'язок системи лінійних рівнянь за допомогою метода послідовного виключення змінних.

Дві СЛР називаються еквівалентними, якщо мають однакову множину розв’язків.

Рівняння СЛР називається несуттєвим, якщо виключаючи його, система переходить в еквівалентну, та суттєвим у протилежному випадку. Змінна, що може набувати у розв’язку системи довільних значень, називається вільною. Якщо у розв’язку системи змінна набуває значень в залежності від фіксованих значень вільних змінних, то вона називається базисною.

Зауваження. Набір вільних та базисних змінних СЛР в деяких випадках можна вибирати по-різному, але кількість змінних у кожному такому наборі при цьому не змінюється.

Приклад 5. Проілюструємо введені поняття на прикладі системи

Очевидно, друге рівняння системи можна вважати несуттєвим. Отже, вона еквівалентна лише першому рівнянню

70

(аналогічно можна було б відкинути перше рівняння, залишаючи друге).

базисна. Або x1 x2 1 x1 1 x2 . У цьому випадку x2 – вільна, а x1

– базисна.

Елементарними перетвореннями над рівняннями системи лінійних рівнянь називаються

1)перестановки місцями двох її рівнянь;

2)множення рівняння системи на ненульове число;

3)додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на довільне число;

4)виключення із системи числових тотожностей. Зауваження. Очевидно, елементарні перетворення над

рівняннями системи відповідають елементарним перетворенням над відповідними рядками її розширеної матриці. Отже надалі ми будемо перетворювати саме рядки розширеної матриці.

Метод Гауса послідовного виключення змінних

Метод базується на наступній теоремі.

Теорема. При елементарних перетвореннях над рівняннями СЛР (рядками розширеної матриці) система переходить в еквівалентну.

Алгоритм методу.

І етап (прямий хід методу): кількість кроків співпадає з кількістю змінних системи (стовпчиків матриці системи).

1-й крок. Виключаємо змінну x1 з усіх рівнянь, крім першого.

Для цього в першому стовпчику розширеної матриці шукають ненульовий (ведучий) елемент, переставляють його рядок на перше місце та за допомогою елементарних перетворень над всіма наступними рядками та цим фіксованим роблять нулі під ведучим елементом (див. приклади 6,7).

2-й крок. Виключаємо змінну x2 з усіх рівнянь, крім перших двох. Для цього у другому стовпчику отриманої матриці, починаючи з другого місця, шукають ненульовий (ведучий) елемент.

Якщо такий є: переставляють його рядок на друге місце та за допомогою елементарних перетворень над всіма наступними рядками та цим фіксованим роблять нулі під ведучим елементом (див. приклади 6,7).

Якщо такого немає, змінну x2 вважають вільною.

k-й крок. У k-му стовпчику попередньої матриці шукають ненульовий (ведучий) елемент.

71