Вища Математика для Економістів

8

2

A

2

5

.

Власні значення

і

ортонормовані

власні вектори матриці A

дорівнюють

1 4, x1

1

1 2 T , 2 9, x2

1

2 1 T .

5

5

Діагоналізація матриці A виконується за допомогою ортогональної

матриці Q :

T

1 1

2

4

0

A QΛQ

,

Q

,

Λ

9

.

5

2

1

0

1 2 T

2

0 1 1

2

1 2

4

1)

W = Λ Q

;

5

5

0

3

2

1

6

3

1 2 T

1 1

2 2

0 1 1

2

1 14

2

2)

W = QΛ Q

0

3

2

.

5

5

5 2

1

2

1

11

A LDU UT DU,

1

1 4

8

0

U

1

,

D

.

0

0

9 2

Матриця W є не виродженою і дорівнює

0

1 1 4

1 4

1

1 2

8

W = D

U

.

0 1

2 0

3

0

9 2

Приклад 29. За допомогою методу Лагранжа звести

квадратичну форму

f xT Ax x12

2x1x2

3x22

4x1x3 6x2x3 3x32 до

нормального вигляду.

y2

y2

y2,

1

2

3

де

y1, y2, y3

-

нові

змінні,

причому

y1 x1 x2 2x3, y2

x2, y3 x2 x3 .

3

Очевидно, що ранг даної квадратичної форми дорівнює трьом.

Приклад 30. За допомогою ортогонального перетворення

звести квадратичну форму f xT Ax 7x12

5x22

6x32 4x1x3

4x2x3

до

канонічного вигляду.

Матрицею квадратичної форми є матриця

7

0

2

0

5

2

A

.

2

2

6

A

Власні

значення і

ортонормовані

власні

вектори матриці

дорівнюють

1

1

1 3, q1

1 2 2 T , 2 6, q2

2 2 1 T ,

3

3

3 9, q3

1

2

1 2 T .

3

Діагоналізація матриці A виконується за допомогою ортогональної

матриці Q :

1

1

2

2

3

0 0

T

A QΛQ ,

Q

2

2

1 ,

Λ

0

6

0

.

3

2 1

2

0

0 9

Тепер маємо:

f xT Ax xT QΛQT x yT Λy 3y12

6y22

9y32 ,

де y y1 y2

y3 T

QT x .

Оскільки

x = Qy ,

то

Q

є матрицею

перетворення і змінні x1, x2, x3 так виражаються через y1, y2, y3 :

x

1

y

2

y

2

y

, x

2

y

2

y

1

y

,

1

3

1

3

2

3

3

2

3

1

3

2

3

3

x

2

y

1

y

2

y

.

3

3

1

3

2

3

3

Приклад 31. За допомогою ортогонального перетворення

звести

рівняння

кривої

9x2 24xy 16y2 230x 110y 225 0 до

канонічного вигляду.

Група

старших

коефіцієнтів рівняння

утворює

квадратичну

форму

f 9x2 24xy

16y2

з

матрицею

9

12

Складемо

A

16

.

12

характеристичне рівняння

9

12

0 ,

або

2

25 0 , тобто

0,

25 .

12

16

1

2

Власні значення і відповідні ортонормовані власні вектори матриці A

дорівнюють

1

1

1 0, q1

4

3 T , 2

25, q2

3

4 T .

5

5

Матриця

ортогонального

перетворення

має

вигляд

Q

1

4

3

,

а

формули

перетворення

координат

3

5

4

4

3

3

4

x

x

y

x

y

.

В

нових

координатах

квадратична

y ,

5

5

5

5

25y 2 .

форма набуде канонічного вигляду f

Перейдемо в рівнянні кривої до нових координат:

2

4

3

3

4

25y 230

x

y

110

x

y

225 0 .

5

5

5

5

Після зведення подібних маємо рівняння y 2 10x 2y 9 0 .

Виділимо

повний

квадрат

в

цьому

рівнянні:

y 1 2 10 x 1 .

новий

початок

координат

точку

O 1, 1 .

У

змінних

x x 1, y y 1

крива набуває канонічного

вигляду

y 2 10x

(парабола).

Приклад 32. За допомогою ортогонального перетворення

звести рівняння поверхні 3x2 5y2 3z2

2xy 2xz 2yz 12x 10 0

до канонічного вигляду.

Група старших коефіцієнтів рівняння утворює квадратичну

форму

f 3x2

5y2 3z2 2xy 2xz 2yz

з

матрицею

3

1

1

1

5

1

A

. Складемо характеристичне рівняння

1

1

3

3

1

1

0 , або 3 2 8 12 0 ,

1

5

1

1

1

3

1 2, q1

1

1 0 1 T , 2 3, q2

1

1 1 1 T ,

3

2

3

6, q3

1

1 2

1 T .

6

1

2

1

3

1

6

Q

0

1

3

2

6

.

1

2

1

3

1

6

1

1

1

1

2

x

x

3

y

6

z , y

3

y

6

z ,

2

z

1

x

1

y

1

2

3

6

z .

3 2

2 2

1 2

2 x

3 y

6 z

24 .

2

3

6

Зробивши

паралельне

перенесення

осей координат

за формулами

x x

3

, y y

2

, z z

1

і поділивши

рівняння

на

24,

2

3

6

одержуємо канонічне рівняння еліпсоїда

x 2

y 2

z 2

1.

4

12

8

Завдання для самостійної роботи

1. Нехай множина U

складається з одного вектора a . Операції в U

визначені

так: a a a, a a .

Показати,

що

множина

U

є

4.

Знайти

лінійну

комбінацію

2a1 3a2 7a3

векторів

a1 2 1 5 9 T , a2 6 3

8 13 T , a3

2

1 2 3 T . Чи є система

a1, a2, a3 лінійно залежною?

5.

Нехай a, b, c - лінійно незалежна система векторів. Чи є лінійно

незалежними наступні системи векторів:

1)

a, a b, a b c ;

2) a b, b c, c a ;

3) a b, b c, c a ;

4) a b, b c, c a ?

6.

Нехай вектори e1, e2, e3

утворюють базис векторного простору.

Знайти координати вектора x e1

2e2

3e3

у базисі, що складається

2e1 e2 e3,

e2,

з векторів e1

e2 e1

e3 e1 e2 e3 .

7.

Знайти формули перетворення координат при переході від базису

e1 2 1 0 T , e2

1 0 1 T , e3

0 1

1 T

до

базису

T

T

T

e1

2 1 2

, e2

3 3 1 ,

e3

1 0 2 .

8. Скласти параметричні і векторне рівняння прямої:

x1 2

x2 1

x3 3

x4

.

2

2

3

1

1

0

1

0 1 0 1

2

0 1

1

0

1

0

3

1 0

2

A

;

B

1 2 5 2

;

C

1

1

1

1

1 2 0

.

1 1 5 1

2

1

4

2 1

3

1

1 3 6 3

13. З’ясувати, чи

утворюють

базис

простору R3

вектори

a1 0 1 1 T , a2 1 2

1 T , a3 2 0

1 T і

у

випадку

позитивної

відповіді знайти координати вектора b 7

2

2 T у цьому базисі.

x1 x2 x3

x4 0,

x1 x2 x3 3x4 2x5

0,

1) x1 x2 4x3 10x4 0,

2) 3x1 2x2 x3 x4 4x5 0,

0.

x1 3x2 6x3 10x4 0;

5x1 5x2 x3 5x4 6x5

15. Підпростори U

і V визначаються відповідно системами лінійних

рівнянь:

x1 2x2 3x3 x

4 0,

2x1 3x2 5x3 x4 0,

2)

x1

x2 2x3 3x4 0,

1)

x1 3x2 4x3 x4 0;

x

x

3

8x

4

0.

1

Знайти вимірності

і базиси

підпросторів

U V , U V .

Перевірити

x1 x2

x3

x4 1,

x1 2x2 3x3 4x4 4,

x2 x3

x4 3,

1)

2x2

x3

x4 2,

2)

x1

x

3x

3x

1,

2

4

3x2

2x3

2x4 3;

1

2x1

7x2 3x3

x4 3.

1

1

1

A

2

1

0

.

0

1

2

1

0

0

A

2

1

0

.

0

0

1

22. Знайти

матрицю A , власними значеннями і відповідними

власними

векторами

якої

є

1 0, x1 1

0 1 T , 2,3

1, x2 0

1 1 T , x3 1

2 0 T .

ортогонального

базису

цього

простору:

e1 0 1 1 2 T , e2 1 2 2 2 T .

24. Для системи

векторів a1 0

0 1 T , a2 0

1 1 T , a3

1 1 1 T

ж саме зробити, взявши вектори у зворотному порядку.

25.

Скласти

рівняння

гіперплощини,

що проходить

через

точку

A 0,1,2,1 афінного простору S4

перпендикулярно

до

прямої

x1 1 1, x2 1 1, x3 2 3 1, x4 4 1 .

26.

Скласти

рівняння

гіперплощини,

що проходить

через

точку

афінного

простору

S

4

паралельно

до прямих

A 1,0, 1,0

0

1

1

A

0

0

1

.

0

0

1

1

1

1

A

1

1

1 .

1

1

1

30. Знайти образ і ядро матриці:

1

2

1

1

A

3

4

7

3

.

3

1

2

0

31.

Дослідити на додатну (невід’ємну) визначеність матриці

4

0

4

1

0

0

A

0

4 0

0 1 1

,

B

.

4

0

8

0

1

1

32.

Представити

різними способами у

вигляді

добутку

WT W

симетричну матрицю

A

5

4

.

4

5

33.

Знайти розклад Холецького для матриці Гільберта третього

порядку

1

1 2

1 3

A

1 2

1 3

1 4

1 3

1 4

1 5

(елементи матриці

Гільберта

обчислюються

за формулою

aij i j 1 1 ).

34.

За допомогою

методу

Лагранжа

звести

квадратичну

форму

f xT Ax x12 4x1x2

x22 2x2x3 2x32 до нормального вигляду.

35.

За допомогою ортогонального перетворення звести до

канонічного вигляду квадратичні форми: