Вища Математика для Економістів

РОЗДІЛ VII

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

.pdf

Скачиваний:

573

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

5.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

11.	y						33											,			x0	64	12.	y x 3					2 x 3 2 ,																					x0	2
11.	y		x				33								x			,			x0	64	12.	y x 3					2 x 3 2 ,																					x0	2
13.	y 2x 2								3,										x0		1		14.	y		x 29				6								,					x0 1
																							14.	y		x 4				1								,					x0 1
																										x 4				1
	y 2x										1								x0				16.	y 2 x 8												2								3 x 4 1 ,							x0 1
15.											x	,									1		16.	y 2 x 8												2								3 x 4 1 ,							x0 1
15.												,									1

17.	y	x 5				1						,				x0					1		18.	y		x16				9								,					x0 1

		x 4				1
		x 4				1																			1 5x 2
19.	y 3 3									2										, x0 1			20.	y 1 (3x 2),																					x0				2
19.	y 3 3					x				2									x	, x0 1			20.	y 1 (3x 2),																					x0				2
21.	y x x 2										1 ,									x0		2	22.	y x 2					3x 3 3, x0 3
23.	y 2x x 2												1 ,								x0 1		24.	y 2 3											3												,		x0	1
23.	y 2x x 2												1 ,								x0 1		24.	y 2 3							x				3									x			,		x0	1
		1 3x 2																					26.	y 14									153															2,		x0 1
25.	y	1 3x 2												,					x0 1				26.	y 14						x			153												x			2,		x0 1
25.	y	3 x 2												,					x0 1					y 3x 2x 3
		3 x 2
27.	y 34				x										x		,				x0	1	28.																					3,					x0	1
29.	y x 2					10 3,														x0		2	30.	y x 2					2x 3 4, x0 4
Завдання 4. Наближено обчислити за допомогою диференціала.
1. y 3		x		,				x 7,76
1. y 3		x		,				x 7,76															2. y 3 x 3										7x ,														x 1,012
																							4.	y e			x2 x							,						x 1,12
									5 x								2				2, x 0,98						x2 x
3. y x									5 x												2, x 0,98

5. y arcsin x,																	x 0,08
5. y arcsin x,																	x 0,08						6.	y		3		x	2								2x 5,												x 0,97
																							6.	y				x									2x 5,												x 0,97
7. y 2x 3,											x 2,08
7. y 2x 3,											x 2,08												8. y					x 2				x 3,																	x 1,97
9. y x11,									x 1,021
9. y x11,									x 1,021														10.		y 3				1 x										,					x 0,02
																							10.		y 3				1 x										,					x 0,02
																													1 x
11.	y x 21,										x 0,998														y 3
11.	y x 21,										x 0,998												12.		y 3				x 2 ,												x 1,03
13.	y x 6 ,										x 2,01												14.		y e2 x x2																,				x 1,94
15.	y x 7 ,										x 1,996
15.	y x 7 ,										x 1,996												16.		y 3				2 x 2 ,																	x 4,97
17.	y																		x 2,56
17.	y		4x 1,																x 2,56				18.		y 1								2x 2 x 1,																	x 1,016
		x 3				2																	20.		y 1												,					x 4,16
19.	y	x 3				2						,					x 1,07						20.		y 1								x				,					x 4,16
19.	y	x 2					1					,					x 1,07
		x 2					1
21.	y	x 2				1						,				x 0,93							22.		y				4x 3,																		x 1,78
21.	y	1 x										,				x 0,93
		1 x
																							24.		y x 5 ,													x 2,997
23.	y		x 3 ,										x 0,98										24.		y x 5 ,													x 2,997
																							26.		y x 4 ,													x 3,998
25.	y 5 x 2 ,												x 1,03										26.		y x 4 ,													x 3,998

242

y 3

27.

1 x sin x ,

x 0,01

28.

3x cos x ,

x 0,01

29.

y 4

2x sin x 2

x 1,02

30.

x 2 5,

x 1,97

Завдання 5. Знайти похідну вказаного порядку.

y 2x 2 7 ln(x 1),

yV ?

y 3 x 2 ln2 x,

y III

y x cos x 2,

y III ?

ln(

x 1)

, y III

x 1

log2 x

, y

III

y 4x 3

5 e2x 1,

x 3

7. y x 2 sin(5x 3),

y III

9. y 2x 3 ln2 x, y III

11.

ln x

, y IV

x 3

13.y e1 2x

sin(2 3x),

y IV

15.

y 2x 3

1 cos x,

17.

y 1 x x 2 e(x 1) 2,

y IV

19.

y x 7 ln(x 4),

yV ?

21.

ln(2x 5)

y III

2x 5

23.

ln x

, y III

x 5

25.

y x 2 3x 1e 3x 2,

27.

ln(x 2)

x 2

29.

y 5x 1 ln2 x,

y III


8. y		ln x			, y IV ?
8. y					, y IV ?
		x 2
10.	y 1 x 2 arctgx,								y III ?
12.	y 4x 3 2 x ,								yV	?
14.	y		ln(3 x)				, y III		?
14.	y						, y III		?
				3 x
16.	y x 2 3 ln(x 3),									y IV	?
18.	y		1	sin2x, y III					?
18.	y			sin2x, y III					?
			x
20.	y 3x 7 3 x ,								y IV	?
22.	y e x 2 sin2x,							y IV		?
24.	y x ln(1 3x),							y IV ?
26.	y 5x 8 2 x ,								y IV	?
28.y e x cos 2x 3sin2x ,											y IV ?
30.	y		log3 x			, y IV		?
30.	y					, y IV		?
				x 2

Завдання 6. Знайти похідну неявно заданої функції.

				y3 sin x a 2 cos 2x 5a
1.		xy sin x sina 0	2.	y3 sin x a 2 cos 2x 5a
3.	y2 2xy sin(x y) cosa		4.	x 4 y4 x 2y2
5.	sin(x y) cos(x y) sina		6.	x y y x
7.	cos(xy) sin(xy)		8.	ye x tg(xy) ea

243

9. y x arctg x y


11.	x siny cos y cos 2x 0
13.	3x y 3x						3y
15.	x 2 3 y2 3						a2 3
17.	y tg 2(y x)
19.	x 3 ax 2y y3								a
21.	2y lny e x
23.	arctg	x			ln y

		y
25.	arctg							sin y lna
			x /y
27.	arcsin xy 2x
29.	arccos			x		2a

				y

10.	y sin x cos(x y) 0
12.	x y arcsin x arcsiny
14.	y ln(x y) lna
16.	tgy atgx
18.	e xy arcsin x
20.	cos(xy) e x y
22.	2x y ln(x y)
24.	y3 3y 2a ln x 0
26.	sin			lntgy
		x y
28.	x ln(x y) a
30.	lntg	y	a

		x

Завдання 7. Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя.

1. а)

lim

lnsin 3x

2. а)

lim

ln x

x 0 lnsin7x

x 1 x 1

sin x

б)

lim ln

б)

lim x 4 ln x

x 0

3. а)

lim

sin3 x

4. а)

lim

a x xa

x a

x 0 sin2x tg2x

x a

б)

lim tgx 2x

б)

lim

arctgx

5. а)

lim

a 0

6. а)

lim

ln x

x a

x 0 1 2 lnsin x

б)

lim arcsin x x x

б)

lim ln ctgx tgx

x 0

7. а)	lim	x sin x
			x 3
	x 0
				1
б)	lim x		ln ex 1
	x 0
9. а)	1			1
	lim

	x 0 x				sin x

8. а)	lim		e x		sin x x(1 x)
8. а)	lim						x 3
	x 0						x 3	tgx
б)							1	tgx
		lim ln
		lim ln
	x 0					arcsin x
				1	1
10. а)		lim					ctgx
10. а)		lim					ctgx
		x 0 x			x

244

б) lim ctgx

ln x

x 0

11. а)

lim

e x

x 0 x

б)

lim ln x

13. а) lim

arcsin2x 2arcsin x

x 0

x 3

б)

lim tg

2x 1

15. а) lim

ln ln(1 x) ln x

x 0

б)

arcsin x ctg2x

lim

x 0

17.

а)

lim

ln(1 x)

x 0

ln x

б)

lim x x

x 0

19. а) lim x ln x

x 0

б)

(1 x)x

lim

x 0

21. а) lim

tg2x ln(1 2x)

x 0

x 2

ln x

б)

lim

arctgx

23. а)

lim

ctg

x 0 x

б)

lim xctgx 1ln(ex x )

x 0

25. а) lim

(a x )x

(a 0)

x 0

x 2

б) lim x1 ln x

12. а) lim

ln arcsin x ln x

x 0

tg 2 2x

б)

lim tgx x

x 0

ln e x

1 ln x

14. а)

lim

x 0

x lna

б)

lim

x lnb

x 0 b

16. а) lim

xctgx 1

x 0

tg 2x

б)

sin x

lim

x 0 x

18. а) lim

tgx x

x 0 x sin x

sin x

б)

lim

x 0

20.а) lim x 3e x

б) lim sin x tgx

x 0

		x a
22. а)	lim arcsin				ctg(x a)
				a
	x a
			1
б)	lim arcctgx
				ln x

24.а) lim

x1 ln x x 1x

tg2x

б) lim 1 lncos x

26.а) lim sin x x cos x

x 0

x sin x

245

б)	1 ln x ctg(x 1)
	lim
		x
	x 1
	1
27. а)	lim	ctgx

	x 0 x
б)	lim ln cos x tgx
	x 0


	2			1

						x
б)	lim	arccos x
б)	lim	arccos x
	x 0
			2				1
28. а)	lim x x			ln 1
28. а)	lim x x			ln 1
							x
	x						x
				1
б)	lim e x	arctgx
б)	lim e x	arctgx			x

x 0

29. а) lim	x arctgx	30. а)
29. а) lim	x 3	30. а)
x 0	x 3
б) lim a x x lna ctgx		(a 0)
x 0		б)

	1	1
lim
		x 2
x 0 x sin x

x tg(x 1)

lim x 1 ln x

Завдання 8. Дослідити функції методами диференціального числення та побудувати їх графіки.


1. а) y	x 3 4	2. а) y		x 2	x 1
1. а) y	x 2	2. а) y			x 1
	x 2				x 1
б) y (2x 3)e 2(x 1)		б) y	e 2(x 1)
		б) y	2(x 1)
			2(x 1)

2
3. а) y
3. а) y	x 2 2x
	x 2 2x
б) y 3 ln		x	1
б) y 3 ln			1

x 3

5. а) y 12x

9 x 2

б) y e 2 x

2 x

7.а) y 4 x 3

б) y (x 3)e 3 x

9.а) y 2x 3 1

б) y 3 3 ln x x 4

11. а) y

x 2

(x 1)2


4. а) y	4x 2
	3 x 2

б) y (3 x)e x 2
6. а) y	x 2		3x 3
			x 1

б) y ln			x	1

		x 2

8.а) y x 2 4x 1

б) y e2(x 1)

2(x 1)

10.а) y (x 1)2

б) y (2x 1)e2(x 1)

	1	2
12. а) y 1
12. а) y 1	x
	x

246

б) y e 2(x 2)

2(x 2)

13.а) y 12 3x 2

x2 12

б) y (2x 5)e 2(x 2)


15. а) y		8x
15. а) y	x 2 4
	x 2 4
б) y 2 ln		x	1
б) y 2 ln			1
		x 1

17.а) y 3x 4 1


б) y			e 2(x 2)
б) y			2(x 2)
			2(x 2)
19. а) y		8(x 1)
19. а) y	(x 1)2
	(x 1)2
б) y (2x 1)e2(1 x )
4
21. а) y
21. а) y
			x 2 2x 3
б) y 2 ln				x	3
б) y 2 ln				x 4	3
				x 4

23.а) y x 2 2x 7

x2 2x 3

б) y e x 3 x 3

x 2

25. а) y x 2

б) y (2x 3)e2(x 2)

27. а) y

4(x 1)2

x 2 2x 4

б) y ln x 5 2 x

б) y ln	x	2

	x 2

14.а) y 9 6x 3x 2

x2 2x 13

б) y e 3 x

3 x

x 1 2

16. а) y x 1

б) y (4 x)e x 3

18. а) y

(x 1)2

б) y 2 ln x 3 3 x

20.а) y 1 2x 3

б) y		e (x 2)
б) y		x 2
		x 2
22. а) y				4
22. а) y	3 2x x 2
	3 2x x 2
б) y (x 1)e x 2
24. а) y				1
24. а) y	x			4 1
	x			4 1
б) y ln				x	1
б) y ln					1
			x 5

26.а) y x 3 32

б) y e 2(x 1)

2(x 1)

28.а) y 3x 2

б) y (x 4)e (x 3)

247


29. а) y		x 2	6x 9	30. а) y	x 3		27x 54
		(x 1)2					x 3

б) y	e x 3			б) y ln		x 6		1

x 3	x

Завдання 9. Задана функція повних витрат виробництва ТС(х). Знайти обсяг виробництва x0 , при якому середні витрати будуть

мінімальними. Задана залежність між ціною р та кількістю одиниць продукції х, яку можна продавати за цією ціною: р=р(х). При якому обсягу виробництва x1 прибуток буде максимальним? Розрахувати

коефіцієнти еластичності при заданих обсягах виробництва x0 , x1 . Відповідь представити у вигляді таблиці.

Обсяг	Середні					Прибуток Z(x)	Еластичність
виробництва	витрати	C(x)					Ex (C)
	витрати	x
		x
x0 =		min
x1 =						max

Варіант	Витрати С(х)						Ціна р(х)
1.	0,1x 3 15x 2 25x 50						80 0,4x
2.	0,7x 3 20x 2				30x 40		90 0,3x
3.	0,8x 3 25x 2				22x 60		70 0,1x
4.	0,5x 3 30x 2				18x 70		60 0,2x
5.	0,04x 3 10x						100 0,5x
6.	x 3 6x 2				15x		15 0,5x
7.	0,7x 3 10x 2				15x 80		50 0,3x
8.	x 3 3x 2 10x						10 x
9.	0,01x 3 x 2 150x						300 0,1x
10.	x 3 3x 2				10x		20 0,2x
11.	0,3x 3 100x 2				80x 40		25 0,5x
12.	0,6x 3 20x 2				20x 30		40 0,2x
13.	0,5x 3 5x						100 0,1x
14.	0,5x 3 80x						81 0,1x
15.	2x 3 18x 2		240x 50				20 9x
16.	5x 3 105x 2			225x 10			100 20x

248

17.	x 3 9x 2 120x 10	90 0,25x
18.	x 3 10,5x 2 90x 10	80 0,25x
19.	x 3 20x 2 100x 100	60 0,4x
20.	0,3x 3 30x 2 10x 20	30 0,1x
21.	x 3 15x 2 20x 15	30 0,1x
22.	x 3 10x 60	20 0,5x
23.	2,5x 3 10x 2 20x 10	100 0,5x
24.	x 2 25x 20	50 0,2x
25.	0,3x 2 100x 150	150 0,5x
26.	0,02x 2 5x 300	40 0,1x
27.	2x 2 3x 8	30 0,125x
28.	0,2x 2 1500x 100000	1700 0,5x
29.	0,04x 2 100	50 0,05x
30.	0,5x 2 x 100	20 0,25x

249

Область визначення задається умовою 1 x12 x22

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

§1. Основні поняття

Нехай маємо n змінних величин, і кожному набору значеньx1, x2,..., xn з деякої множини Х відповідає одне значення змінної величини z. Тоді говорять, що задана функція багатьох змінних z f x1, x2,..., xn .

Змінні x1, x2 ,..., xn називаються незалежними змінними або

аргументами, z – залежною змінною, а символ f означає закон відповідності. Множина Х називається областю визначення функції.

Приклад 1. Знайти область визначення функцій:

x12 x22 1 , тобто є одиничним колом з центром у початку координат.

б) Маємо x1 0, x2 0, тобто область визначення – це площина Ox1x2 за винятком координатних прямих Ox1 та Ox2 .

Розглянемо деякі приклади функцій багатьох змінних.

1. Функція z a1x1 a2x2 ... an xn b , де a1,...,an ,b - постійні числа, називається лінійною.

2. Функція z 1	n
	bij xi x j (bij - постійні числа) називається

2 i, j 1

квадратичною.

3. Функція корисності z f x1, x2,..., xn виражає корисність від n придбаних товарів. Найчастіше зустрічаються такі її види:

	n			ci , де
а)	z ai ln xi			ci , де	ai 0, xi	ci 0 -	логарифмічна
	i 1
функція;
	n	ai	xi	ci 1 bi .
б)	z	ai			Тут ai 0,	0 bi 1,	xi ci 0. Така
б)	z				Тут ai 0,	0 bi 1,	xi ci 0. Така
	i 1	1 bi

функція називається функцією постійної еластичності.

4. Виробнича функція виражає результат виробничої діяльності від факторів x1, x2 ,..., xn , що його обумовлюють. Найчастіше зустрічаються такі види (z – величина суспільного продукту, x1 - витрати праці, x2 - обсяг виробничих фондів):

250

x0 ,y0

а) функція Коба-Дугласа

z b0 x1b1 x2b2 ;

б) функція з постійною еластичністю заміщення:

z e0 e1x1 e2x2 .

Надалі будемо розглядати функції двох змінних (n=2). Функцію двох змінних будемо позначати z f (x,y) . Тоді її область визначення

Х є підмножиною координатної площини Оху.

Графік функції двох змінних z f (x,y) є деякою поверхнею у трьохвимірному просторі.

Лінією рівня функції двох змінних z f (x,y) називається множина точок на площині, таких, що в усіх цих точках значення функції одне й те ж і дорівнює С.

Число С в цьому випадку називається рівнем.

Приклад 2. Побудувати лінії рівня функції z x 2 y2 2y . Лінія рівня z C - це крива на площині Оху, що задається

рівнянням x 2 (y 1)2 C 1. Це рівняння кола з центром в точці (0;1)

і радіусом C 1 .

Точка (0;1) – це вироджена лінія рівня, що відповідає мінімальному значенню функції z 1 і досягається в точці (0;1). Лінії рівня – концентричні кола, радіус яких збільшується із зростанням z C , причому відстані між лініями з однаковим кроком

рівня зменшуються по мірі віддалення від центра.
Число А		називається	границею	функції	z f (x,y)	при
x x0 ,	y y0	(або в точці	x0 ,y0 ), якщо для будь-якого скільки
завгодно	малого	додатного числа 0		знайдеться	додатне	число

( ) таке, що для всіх точок (х,у), що знаходяться від точки на відстані виконується нерівність

f (x,y) A .

Позначається границя так:

lim f (x,y) A.

xx0

yy0

Приклад 3. Знайти границю

		ln1 x 2 y2
	lim						.
	lim						.
	x x0		x	2	y	2
	y y0		x		y

Позначимо x 2 y2 .			Умова x 0,					y 0 рівносильна

умові 0 . Запишемо границю у вигляді

251

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 5525 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201663.49 Кб187Вирішення задач по земельному праву.doc
#
19.03.201546.15 Кб22ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170.5 Кб4Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590.27 Кб19Витяг - Види трудових договорів.docx
#
24.11.20191.22 Mб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20155.79 Mб573Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201958.72 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928.38 Кб2ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
31.08.2019184.83 Кб1Влада і норми поведінки в первісному суспільств...doc
#
07.03.2016757.67 Кб19Вовк_Фольклористична_спадщина_викладачів.pdf
#
19.03.2015375.81 Кб21Волхвы.doc