Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища Математика для Економістів

.pdf

Скачиваний:

573

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

5.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5521 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

б)

lim

9 2x 5

x 8

x 2

в)

lim

1 cos3 x

4x2

x 0

г)

lim

sin2 x tg2x

(x )4

д)

lim

35x 2x

x 0 x sin9x

е)

lim

1 x sin x

ex2

x 0

є)

sin x

lim

x 3

9. а)

lim

x3 3x 2

x2 x 2

x 1

б)

lim

3 8 3x x2

x x2

x 0

в)

lim

2x 1

x 0 ln(1 2x)

г)

lim

cos5x cos3x

sin2 x

д)

lim

12x

5 3x

x 0 2arcsin x x

е)

lim

1 2cos x

x 3 sin( 3x)

є) lim 1 ex			sin x
є) lim 1 ex			1 x	.
x 1
11. а) lim	x3	3x 2			.
11. а) lim					.
x 1 x3 x2 x 1

б)

lim

1 2x x

2 (1 x)

x 0

в)

lim

arcsin3x

x 0

2 x

г)

lim

x2 x 1 1

tg x

x 1

д)

lim

e4x

e 2x

x 0 2arctg x sin x

е)

x2 ex e x

lim

ex3 1

x 0

є)

lim

1 x 1 x2 1 x

x 1

2 x

10. а) lim

x3 5x2 7x 3

5x 2

x 1 x3 4x2

б)

lim

27 x

x 0

x 23 x4

в)

lim

arctg2x

x 0 sin(2 (x 10))

г)

lim

sin7x sin3x

x 2

ex2

e4 2

д)

lim

e7x e 2x

x 0 sin x 2x

е)

lim

1 x2

x 1 sin x

є)

lim

tg9 x

x x 1

x 1

sin4 x

12. а)	lim	x3	x2 5x 3			.
			3	x2	x 1
	x 1 x

202

б)

lim

3 x 1

x 1

1 x

в)

lim

ln(1 7x )

x 0 sin( (x 7))

г)

lim

sin7 x

x 2 sin8 x

д)

lim

35x 27x

x 0 arcsin2x x

е)

lim

sin x cos x

x 4

lntgx

є)

arcsin x 3 x2 8

lim

sin3 x

x 3

13. а)

lim

x3 4x2 5x 2

x3 3x 2

x 1

б)

lim

x 2

2 x

в)

lim

9ln(1 2x)

x 0 4arctg3x

г)

lim

x2 3x 3 1

sin x

x 1

д)

lim

4x 27x

x 0 tg3x x

е)

lim

1 cos2x tg

x sin3x

x 0

x 3 4

x 1

є)

lim

arctg

x 1

15. а)

lim

x3 5x2 8x 4

x3 3x2 4

x -2

б)

lim

1 x

x 0 3 1 x 3 1 x

в)

lim

cos(x 5 2)tgx

x 0

arcsin2x2

г)

lim

ln(5 2

x )

x 2

10 3x 2

д)

lim

e5x ex

x 0 arcsin x x3

е)

ax ab

lim

x b

є)

sin2x

x2 2 16

lim

x 4

14. а)

lim

4 1

x 1 2x4

б)

lim

x 1 x2 1

в)

lim

3x 1

x 0 cos[ (x 1) 2]

г)

x2 2

lim

sin x

д)

lim

e x

x 0 tg2x sin x

е)

lim

sin2x 2sin x

x 0

x lncos5x

є)

x sin x

lim

ctg

16. а)

lim

x3 5x2 8x 4

x3 3x2

x 2

203

б)

lim

3 9x 3

x 3

3 x

в)

lim

sin7x

x 0 x2 x

5x 3

2x2

г)

lim

x 1

tg x

д)

lim

102x 7 x

x 0 2tgx arctg x

ln x h ln x h 2ln x

lim

е) h 0

x 0.

є)

lim

sin x sina x2 a2

x a

17. а)

lim

x3 6x2 12x 8

x3 3x2 4

x 2

б)

lim

16x

x 4

4 x

в)

lim

2sin[ (x 1)]

x 0

ln(1 2x)

г)

lim

ln2x ln

x 2 sin(5x 2)cos x

д)

lim

73x 32x

tgx x3

x 0

е)

esin2x esin x

lim

tgx

x 0

є)

lim

sin x cos x 1 tgx .

x 4

19. а)

lim

3x 2

x 2)2

x 1 (x2

б)

lim

3 x 6 2

x 2

x -2

в)

lim

4 x

x 0

3arctgx

г)

lim

2x 16

x 4

sin x

д)

lim

e2x ex

x 0 sin3x sin5x

е)

lim

1 x

x 1 log2 x

2 1 x

є)

x 2

lim

x 2

18. а)

lim

x3 5x

2 8x 4

16x 12

x -2 x3 7x2

б)

lim

9 2x

x 8

3 x2

в)

lim

cos 2x cos x

x 0

1 cos x

г)

lim

lntgx

x 4 cos2x

д)

lim

e4x e2x

x 0 2tgx sin x

е)

lim

2x 2

ln x

x 1

є)

lim

tg2x sin 8 x .

x 8

20. а)

lim

x3 3x 2

x 2

204

б)

x 4 1 2

lim

x 1 2

1 2 x 2x

в)

lim

1 x

x 0 sin[ (x 2)]

г)

lim

e ex

x sin5x sin3x

д)

lim

32x 7x

x 0 arcsin3x 5x

е)

lim

sin x h sin x h

h 0

є)

lim arcsin x tg x .

x 1

21. а)

lim

3x 2

2x 1

x 1 x2

1 4

б)

x 16

lim

x 1 4

1 4 x 2x

lim

в)

cos x

x 0

x sin x

г)

1 2

4 x2

lim

x 2 2(

3x2 5x 2)

д)

lim

45x

9 2x

x 0 sin x tgx3

е)

ax h

ax h 2ax

lim

h 0

є)

lim ln2 ex 1 x2 1 .

x 1

23. а)

lim

x 4 1

x 1 2x4

x2 1

б)

lim

3 x 9 1 3

x 1 3

1 3 x 2x

в)

lim

sin[5(x )]

x 0

e3x 1

г)

lim

ln(9 2x

2 )

sin2 x

x 2

д)

lim

e2x

e 5x

x 0 2sin x tgx

е)

lim

x 2

sin3x

x 0

є)

lim x sin x sin x x .

22. а)

lim

x2 2x 1

x 1 x3 x2 x 1

б)

lim

1 x

x 0

в)

lim

arcsin2x

ln2.

x 0

2 3x 1

г)

lim

x 1 4

x 1

д)

e3x e2x

lim

x 0 sin3x tg2x

lim

е)

cos x

x 0 1 cos

є)

lim

arctgx .

x 1

x2 3x 2 24. а) lim .

x 1 x3 2x2 x 2

205

б)	3	27 x 3 27 x
	lim				.

		3 x2 5
	x 0		x
в)	lim	e4x 1		.

x 0 sin( (x2 1))

г)

lim

tg x

x -2 x 2

д)

lim

52x 23x

x 0 sin x sin x2

е)

lim

5 x

sin x

x 3

1 x2

є)

lim

x 1

25. а)

lim

2x2 x 1

2x2 x 2

x 1 x3

б)

lim

1 2x 3x

2 (1 x )

x 0

в)

lim

sin2 x tg2x

x 4

x 0

г)

lim

1 2cos x

x 3

д)

lim

9x 23x

x 0 arctg 2x 7x

е)

lim

lg x 1

x 10

x 9 1

є)

lim cos x tg x 2 .

x 2

27. а)

lim

3 2x 1

4 2x 1

x 1 x

б)

lim

8 3x x2

x 0

3 x2 x3

в)

lim

1 cos x

x 0 (e3x 1)2

г)

lim

1 sin(x 2)

д)

lim

ex e3x

x 0 sin3x tg2x

е)

lim

2sin2 x sin x 1

6 2sin2 x 3sin x 1

sin x

x2 1

є)

lim

x 1

26. а)

lim

x2 2x 3

x -3 x3 4x2

б)

lim

9 2x

x 8

x 2

в)

lim

arcsin2x

x 0 ln(e x) 1

г)

lim

arctg(x2 2x)

sin3 x

x 2

д)

lim

e 2x

x 0 x sin x2

е)

lim

3x 1 3

x 0 ln 1 x

1 xex

є)

lim arcsin x arccos x 1 x .

x 1 2

28. а)

lim

(1 x)3 (1 3x)

x 0

x2 x5

206

б)	lim		4	x 2			.


	x 16 3		(			2
					x 4)
в)	lim	tgx sin x						.

x 0 x(1 cos2x )


г)	lim			2x 1 2				.

	x 1 2 esin x e sin3 x
д)	lim	35x 2 7x				.

	x 0		2x tgx
					1		.
е)	lim			cos x

	x 0		sin2 2x
є)	lim		cos x 1 sin x .
	x 2

x2 1 29. а) lim .

x 1 2x2 x 1

б)

lim

x 2

x 4 3 x2 16

в)

lim

tg( (1 x 2))

x 0

ln(x 1)

lim

г)

10 x

sin3 x

x 1

д)

lim

e2x

x 0 x tgx2

е)

lim

1 sin3 x

cos2 x

x 2

2x 3

1 2 x

є)

lim

4x 5

x 1

б)

lim

x 0 tg( (2 x))

в)

lim

ln(x2 1)

x 0 1

x2 1

г)

lim

cos( x

x 1

д)

lim

e2x

x 0 sin2x sin x

е)

lim

sinbx sinax

x 0 ln tg 4 ax

x 1

sin x 4

є)

3 x

lim

x 1

30. а)

lim

x3 7x2 15x 9

x -3 x3 8x2 21x 18

lim

10 x 6

б)

1 x

x 8

в)

lim

2(e x

x 0 3(3 1 x 1)

г)

lim

sin5x

tg3x

д)

lim

23x 32x

x 0 x arcsin x3

е)

lim

log3 x 1

x 3

tg x

1 cos x

є)

lim

x 1

tg x

207

РОЗДІЛ VI

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

§1. Похідна

Похідною функції y f (x) в точці х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

		f (x x) f (x)

	f (x) lim	x
	x 0	x		dy
Похідна може позначатись				dy	.

		f (x), y ,		dx
				dx
	Правила диференціювання.
Нехай функції u f (x) і		v g(x)	мають в певній точці x0
	.
похідні u ,v	.

1.Похідна від суми (різниці) двох функцій: (u v) u v .

2.Похідна від добутку двох функцій: (uv ) u v uv .

u v uv

, v 0 .

Похідна від частки двох функцій:

v 2

Похідна

складної

функції:

якщо

y f (u),

u g(x), то

f (u) u

c 0

Таблиця похідних.

tgx

cos2 x

n 1

10. ctgx

sin2 x

11. arcsin x

2 x

1 x 2

12. arccos x

lna , e

13. arctgx

1 x 2

loga

ln x

14.

arcctgx

x lna

1 x 2

208


	cos x				x		x
7. sin x						e
	15.			e

		(shx)				2

	sin x				x		x
8. cos x						e
	16.		e

		(chx)				2

chx

shx

Приклади 1. Знайти похідні таких функцій

1) y ln sin x

				1
y	lnsin x				cos x ctgx
		(ln(sinx))	(sin x)

sin x

2) y tg12 3cos x 4x

Дана функція є степеневою функцією, основою якої є складна функція, тому обчислення похідної будемо виконувати послідовно, використовуючи правило диференціювання складної функції.

y		3			12		3				3
		3			12		3				3
		tg		cos x 4x			tg cos x		4x			cos x 4x		cos x 4x

12tg11 3							1					1	sin x 4
			cos x 4x				1					1

						cos2 3 cos x 4x					cos x 4x 2
						cos2 3 cos x 4x			33		cos x 4x 2
									5
	3) y arctg(3x 5) 3sin2 2x							x		8
	3) y arctg(3x 5) 3sin2 2x							lg(1 tgx)
								lg(1 tgx)

Дана функція є сумою, перший доданок якої в свою чергу є добутком, а другий – часткою. Тому послідовно використовуємо правила диференціювання суми, добутку, частки, а також складної функції.

						3		sin2 2x			arctg(3x 5) 3				sin2	2x
y arctg(3x 5)						3					arctg(3x 5) 3
			5						5
	x 8				lg(1 tgx) x 8 lg(1
	x 8				lg(1 tgx) x 8 lg(1							tgx)
													1						sin2	2x
													1				3	3	sin2	2x
					lg(1 tgx) 2									1 (3x 5)2			3	3
arctg(3x 5) 3sin2 2x									ln 3 2sin2x cos 2x 2
		5				5						1	1
		5			lg(1 tgx) x		8					1	1
				3	lg(1 tgx) x		8			(1 tgx)ln10			cos2 x
				3
	8x 8
	8x 8
					lg2(1 tgx)
					lg2(1 tgx)

209

Похідна параметрично заданої функції

Нехай залежність у від х задана параметрично у вигляді

x (t)	,
	,
y (t)

де t – параметр.

(t) диференційовані по t і функція

Припустимо, що (t) і

x (t)

має диференційовану

обернену

функцію

t 1(x).

Тоді у

можемо розглядати як складну функцію від х

y 1(x)

(t)

(x) x

(t)

Приклад 2. Знайти похідну параметрично

заданої

функції

x a cos t

y a sint

a cos t

(a sint)

ctgt

a sint

(a cos t)

Похідна неявно заданої функції

Функція у аргументу х називається неявною, якщо вона задана рівнянням F(x,y) 0 , не розв’язаним відносно залежної змінної. Для знаходження похідної необхідно про диференціювати обидві частини рівності, розглядаючи у як функцію від х, а потім з отриманого рівняння знайти похідну y .

Приклад 3. Зайти похідну функції, заданої рівнянням x 2 xy lny 2.

Диференціюванням по х знаходимо

2x y	x y	y	0 y	2xy y	2	.
		y		xy 1

	Логарифмічне диференціювання
Нехай	функція		y f (x) має похідну				y
								f (x), яку складно

обчислити за допомогою раніше наведених формул та правил, але натуральний логарифм даної функції ln f (x) є функція, яка диференціюється досить легко. Тоді для знаходження похідної застосовується метод логарифмічного диференціювання, що полягає

210

у послідовному логарифмуванні даної функції lny ln f (x), а потім диференціюванні її як функції заданої неявно. Тоді якщо lny (x),

то	y
то	y	(x) , звідки знаходимо y	y (x) або y	f (x) (x).
	y

Приклад 4. Знайти похідні функцій:

1) y x 3 5x 2 x

Формули для диференціювання даної функції в таблиці немає. Використаємо метод логарифмічного диференціювання. Про

логарифмуємо цю функцію: lny 1 ln x 3 5x 2 . x

Після диференціювання обох частин рівності знаходимо

				y				1		ln x 3				5x 2	1	3x	2		10		,
				y				1							1	3x			10
							x 2								x x 3 5x 2
				y			x 2								x x 3 5x 2
звідки
			3			2			1		1			3	2			1 3x 2 10
			3			2					1			3	2			1 3x 2 10
	y		x		5x				x					ln x 5x
	y		x		5x								2	ln x 5x				x x		3		5x	2	.
												x						x x				5x
2)	y 3	x x 2 1
2)	y 3	x 2 1 2

Безпосереднє диференціювання даної функції є громіздким, в той час як логарифм його легко диференціюється. Прологарифмуємо цю функцію:

lny	1	ln x ln(x 2 1) 2 ln(x 2 1) .

3

Диференціюємо обидві частини тотожності, розглядаючи у як функцію від х, тоді:

y	1	1	2x	4x
					,
			x 2 1
y 3		x		x 2 1

звідки

y 3

x x 2 1

x 2 1 2

x 2 1

Геометричний сенс похідної

Похідна функції в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривої в цій точці. Звідси витікає, що рівняння дотичної до кривої y f (x) в точці M 0 x0 ,y0 має вигляд

211

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 5521 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201663.49 Кб187Вирішення задач по земельному праву.doc
#
19.03.201546.15 Кб22ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170.5 Кб4Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590.27 Кб19Витяг - Види трудових договорів.docx
#
24.11.20191.22 Mб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20155.79 Mб573Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201958.72 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928.38 Кб2ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
31.08.2019184.83 Кб1Влада і норми поведінки в первісному суспільств...doc
#
07.03.2016757.67 Кб19Вовк_Фольклористична_спадщина_викладачів.pdf
#
19.03.2015375.81 Кб21Волхвы.doc