Вища Математика для Економістів

y y0 f x0 x x0 .

Нормаллю до кривої в точці M 0 x0 ,y0 називається пряма перпендикулярна до дотичної проведеної до цієї кривої в заданій точці. Рівняння нормалі має вигляд

§2. Диференціал функції

Якщо функція y f (x) диференційована в точці х, тобто має в

називається диференціалом функції і позначається dy: dy y x ,

або

dy y dx .

Справедлива формула

y dy

або

f (x x) f (x) f (x) x ,

яка застосовується в наближених обчисленнях.

Приклади 6. 1) Знайти диференціал функції y lntg x .

212

функцією, що визначена на інтервалі (a,b). Якщо ця функція сама є диференційованою в деякій точці х інтервалу (a,b), тобто має в цій точці похідну, то вказана похідна називається другою похідною або

похідною 2-го порядку і позначається

Аналогічно можна ввести поняття третьої похідної, потім четвертої і т.д.

Похідною n-го порядку називається похідна від похідної (n-1)- го порядку і позначається

f (n )(x), y(n ), dn y . dxn

Для похідних n-го порядку справедливі правила:

1. (u v)(n ) u(n ) v(n )

2. (uv)(n ) u(n )v nu(n 1)v n(n 1) u(n 2)v ... uv(n )

1 2

Остання формула носить назву формули Лейбніця.

Якщо y є диференційованою функцією, то можна визначити

диференціал другого порядку. Другим диференціалом (або

диференціалом другого порядку) називається диференціал від диференціала функції, тобто

d(dy) d(y dx) y dx 2 d2y

або

d2y y dx 2 .

Диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціала (n-1)-го порядку

dny d dn 1y y(n )dxn .

213

§4. Застосування похідних до дослідження функцій та побуди графіків, знаходження границь

нескінченно великі при x a , диференційовані в околі точки x a ,

Приклади 7. Обчислити границі функцій, використовуючи правило Лопіталя.

Правило Лопіталя може застосовуватись послідовно декілька разів, якщо відношення похідних знову приводить до невизначеності, а самі похідні задовольняють умовам застосування правила Лопіталя.

до вигляду 0 і , а потім застосовують таблицю еквівалентних

0

нескінченно малих величин і правило Лопіталя.

214

Розкриття невизначеностей типу 0 , 00 , 1 проводять з попереднім перетворенням степенево-показникового виразу за основною логарифмічною тотожністю a e ln a .

В результаті цих дій отримаємо (формальний запис):

215

максимуму і мінімуму функції називаються точками екстремуму цієї функції.

Необхідна ознака існування екстремуму. Якщо неперервна функція f (x) має в точці x x0 екстремум, то похідна функції f x0 0 або не існує. Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не

існує, називаються критичними (стаціонарними, підозрілими на екстремум).

Достатня ознака існування екстремуму функції за першою похідною. Якщо при переході через критичну точку x0 похідна диференційованої функції y f (x) змінює свій знак з плюса

на мінус, то точка x0 - це точка максимуму, а якщо з мінуса на плюс, то точка мінімуму.

Достатня ознака існування екстремуму функції за другою похідною. Якщо функція f (x) має в критичній точці x0

скінчену другу похідну, то вона має в точці x0 локальний максимум,

якщо f x0 0 , і локальний мінімум, якщо f x0 0 .

Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a,b] , то вона

досягає на цьому відрізку своїх найбільшого і найменшого значень. Для знаходження цих значень необхідно знайти всі критичні точки

Достатня умова опуклості функції. Якщо друга похідна двічі диференційованої функції додатна (від’ємна) на деякому інтервалі (a,b), то функція опукла вниз (вгору) на цьому інтервалі.

Точкою перегину графіка неперервної функції називається точка, що розділяє інтервали, на яких функція опукла вниз і вгору.

216

Необхідна умова перегину. Друга похідна f (x) двічі диференційованої функції в точці перегину x0 дорівнює нулю, тобто f x0 0 .

Достатня умова перегину. Якщо друга похідна f (x) двічі диференційованої функції при переході через деяку точку x0 змінює свій знак, то x0 є точкою перегину її графіка.

Асимптоти графіка функції

Асимптотою графіка функції y f (x) називається пряма,

що має таку властивість: відстань від точки x, f (x) до цієї прямої наближається до нуля при необмеженому віддаленні точки графіка від початку координат.

Пряма x a називається вертикальною асимптотою

графіка функції y f (x) , якщо хоча б одна з границь lim f (x) або

x a 0

lim f (x) дорівнює або .

x a 0

Вертикальні асимптоти слід шукати в точках розриву функції y f (x) або на кінцях її області визначення (a,b), якщо a і b –

скінчені числа.

Пряма y b називається горизонтальною асимптотою

графіка функції y f (x) , якщо існує скінчена границя lim f (x) b .

x

Пряма y kx b називається похилою асимптотою графіка функції y f (x) при x x , якщо існують скінчені границі

Якщо хоча б одна з границь не існує, то похилих асимптот графік не має. Похилі асимптоти, як і горизонтальні, можуть бути різними при x і при x .

Загальна схема дослідження функції та побудови графіка

1.Знайти область визначення функції.

2.Дослідити функцію на парність-непарність, періодичність.

3.Знайти вертикальні асимптоти.

4.Дослідити поведінку функції на нескінченості, знайти горизонтальні та похилі асимптоти.

5.Знайти екстремуми та інтервали монотонності функції.

6.Знайти інтервали опуклості функції та точки перегину.

7.Знайти точки перетину з осями координат.

217

8.Побудувати асимптоти, точки перетину з осями, екстремальні точки, точки перегину та графік.

x 3

Приклад 8. Побудувати графік функції y 2(x 1)2 .

1.Область визначення ( , 1) ( 1, ), тобто x 1.

Функція загального вигляду.

Функція неперіодична, оскільки не існує такого числа Т, для якого б виконувалась рівність f (x T ) f (x) для будь-яких х з області

5. Для визначення інтервалів монотонності та екстремумів функції необхідно знайти її першу похідну і визначити точки, в яких вона дорівнює нулю або не існує:

x 3 3x 2

2(x 1)3

218

6.Для визначення інтервалів опуклості та точок перегину знайдемо другу похідну:

графік опуклий вниз. Точка О(0;0) – точка перегину.

7. Точки перетину з осями координат: f (0) 0 , тобто точка перетину з осями – точка О(0;0).

8.

219

y

x

Рис.3.

§5. Задачі, що зводяться до поняття похідної

Задача про продуктивність праці.

Нехай функція u u(t) виражає кількість виробленої продукції

u за час t, і необхідно знати продуктивність праці в момент t0 .

Очевидно, за період часу від t0 до t0 t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 u(t0 ) до значення u0 u u(t0 t) . Тоді середня продуктивність праці за цей термін

граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до

Отже, похідна обсягу виробленої продукції за часом u (t0 ) є

продуктивністю праці в момент t0 . У цьому економічний зміст похідної.

220

Максимізація прибутку.

Максимізація прибутку є одним з основних критеріїв діяльності виробничої або комерційної структури. Прибуток Z є деякою функцією від обсягу реалізованої продукції x

Z=f(x).

Приклад 9. Фірмі відоме співвідношення між щотижневим продажем x та щотижневим прибутком Z, яке представлене у вигляді

функції Z 0,005x 2 20x 5000 . Фірма бажає максимізувати свій щотижневий прибуток.

Знайдемо всі стаціонарні точки з умови рівності нулю похідної функції прибутку:

dx

З метою ідентифікації цієї точки знаходимо

d2Z

dx 2

0,01 0.

Значить, точка x * 2000 є точкою локального максимуму. При цьому

Z 0,005 20002 20 2000 5000 1500.

Таким чином, для максимізації свого прибутку фірма повинна щотижня реалізовувати 2000 одиниць своєї продукції. При цьому її прибуток буде максимальним і складатиме 1500 гривень.

Граничний аналіз.

У практиці економічних досліджень широке застосування отримали виробничі функції, які використовують для встановлення залежностей, наприклад, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від обсягу продукції, доходу від продажу товару і т.д. У припущенні диференційованості виробничих функцій важливе значення набувають їхні диференціальні характеристики, пов’язані з поняттям похідної.

Розглянемо похідні для означених типів виробничих функцій. 1. Нехай виробнича функція TC TC(x) - функція витрат

виробництва, що залежить від кількості продукції х.

Припустимо, що кількість продукції збільшується на x . Кількості продукції x x відповідають витрати виробництва TC(x x) . Отже, приросту кількості продукції x відповідає приріст витрат на виробництво продукції TC TC(x x) TC(x) .

221