Вища Математика для Економістів

перевести операції над векторами на мову операцій над координатами цих векторів. Отже, загальний n -вимірний простір улаштований в деякому сенсі так, як арифметичний простір Rn . Крім

того, вимірність векторного простору є його єдиною характеристикою, тобто всі n -вимірні векторні простори є однаковими.

З’ясуємо, як перетворюються координати вектора при зміні базису. Нехай e1, e2, ...,en та e1, e2, ...,en є базисами n -вимірного векторного простору і визначені координати векторів «нового» базису

векторів «нового» базису в «старому» базисі. Матриця Q називається

матрицею перетворення координат при зміні базису (матрицею переходу від «старого» базису до «нового»).

координат вектора a у «старому» та «новому» базисі відповідно, тоді

102

n

рівність j ej 0 , яка випливає з формули (6), буде свідчити про

j 1

лінійну залежність векторів e1, e2, ...,en . Отже, матриця Q є

невиродженою.

З формули (8) одержимо вираз координат вектора в «новому» базисі через координати цього вектора у «старому» базисі:

Приклад 1. Нехай для множини векторів, заданих своїми координатами, визначені операції додавання і множення на числа згідно з правилами:

a + b 1 1 2 2 n n T ,a 1 2 n T ,

де 1, 2, ..., n і 1, 2, ..., n - координати векторів a і b відповідно.

Чи є така множина векторним простором?

Ця множина з указаними операціями додавання і множення на числа не є векторним простором, бо порушена сьома аксіома:a a b . Дійсно,

a 1 2 n T ,a a 1 2 2 2 n T ,

тобто a a b .

Приклад 2. Перевірити, чи є лінійно незалежними вектори a 2 1 5 T , b 4 3 0 T , c 0 1 10 T .

103

коли головний визначник системи не дорівнює нулю. В цьому випадку система має єдиний розв’язок – нульовий, тому вектори є лінійно незалежними. В противному випадку вектори – лінійно залежні. Обчислимо визначник системи, стовпці якого складаються з координат векторів a, b, c :

матриці-стовпці складаються з «нових» і «старих» координат вектора x відповідно. Отже, маємо:

Таким чином, x 6e1 4e2 11e3 .

Приклад 4. Нехай системи векторів e1, e2, ...,en і e1, e2, ...,en є

базисами простору Rn та ці вектори задані своїми координатами у

координат при переході від базису e1, e2, ...,en до базису e1, e2, ...,en дорівнює Q11Q2 .

104

105

Підпростори векторних просторів

Непорожня множина U векторів з векторного простору R називається його підпростором, якщо вона разом з кожною парою векторів a, b вміщує всі їхні лінійні комбінації a b .

Теорема. Кожний підпростір є векторним простором.

З означення підпростору U випливає, що досить перевірити ті аксіоми векторного простору, які стосуються нульового та протилежного векторів, бо виконання інших аксіом є очевидним. Якщо взяти 0 , то a b 0 , тобто нульовий вектор належить

до U . Нехай 1, 0 . Тоді 1 a 0 b -a , тому разом з

вектором a в U є протилежний до нього вектор. Отже, множина U є простором.

Наведемо деякі важливі приклади підпросторів:

множина, що складається з одного нульового вектора, є підпростором. Він називається нульовим підпростором;

множина, що складається з усіх векторів простору R є підпростором;

Зауважимо, що нульовий підпростір і весь підпростір є двома крайніми випадками підпросторів, ці два підпростори називаються

тривіальними, і інші – нетривіальними.

Теорема. Будь-який базис підпростору можна доповнити до базису всього векторного простору.

Дійсно, якщо dim R n, m n , то знайдеться такий вектор

em 1 R , що вектори e1, e2, ...,em , em 1 будуть лінійно незалежними, бо в противному випадку простір R був би m -вимірним. Якщо m 1 n , то міркування можна повторити. Так можна продовжувати доти, поки кількість векторів у системі не досягне n . Побудована система буде базисом простору R .

Сумою U V підпросторів U , V векторного простору R називається множина всіх векторів вигляду a = u + v , де u U , v V .

Перерізом U V підпросторів U , V векторного простору R називається множина всіх векторів, які одночасно належать як до U , так і до V .

106

Сума підпросторів і їх переріз є непорожніми множинами, оскільки їм належить нульовий вектор простору R . Покажемо, що ці

Якщо U V - нульовий підпростір, то сума підпросторів U і V називається прямою сумою і позначається через U V . З (10) випливає, що

тобто вимірність прямої суми підпросторів дорівнює сумі вимірностей доданків і об’єднання будь-яких базисів доданків утворює базис прямої суми.

Афінний простір

Множина Sn називається n -вимірним афінним простором,

а її елементи – точками цього простору, якщо кожній упорядкованій парі елементів A, B Sn зіставляється єдиний вектор з Rn (який

позначається через AB ) у відповідності до аксіом:

для кожної точки A Sn і кожного вектора a Rn існує єдина точка B Sn така, що AB a (перша з цих точок називається

початком, а друга – кінцем вектора);

для будь-яких трьох точок A, B, C Sn виконується рівність

AB BC AC .

107

Перша аксіома дає можливість відкласти будь-який вектор з довільної точки, а друга аксіома визначає операцію додавання векторів.

За допомогою аксіом неважко показати, що кожній парі точок, які збігаються, відповідає нульовий вектор з Rn . Крім того, якщо

AB a , то BA -a .

Зауважимо, що векторний простір Rn можна розглядати як афінний простір Sn . Для цього достатньо вектори назвати точками і кожній парі векторів a, b зіставити вектор b a Rn .

З іншого боку, афінний простір Sn можна розглядати як векторний. Для цього достатньо в просторі Sn вибрати яку-небудь точку O і довільній точці M Sn зіставити вектор OM , який називають радіусом-вектором точки M . Множина радіус-векторів усіх точок простору Sn утворює простір Rn .

Введемо поняття афінних координат точок Sn . Для цього виберемо в Sn деяку точку O , яку називають початком координат, і в просторі Rn візьмемо деякий базис e1, e2, ...,en . Початок координат разом з базисом утворюють афінну систему координат в афінному просторі.

Розклавши радіус-вектор довільної точки M Sn за базисом e1, e2, ...,en , одержимо:

OM 1e1 2e2 ... n en .

Коефіцієнти 1, 2, ..., n цього розкладу називаються афінними координатами точки M відносно вибраної афінної системи координат. Ці координати визначаються однозначно, оскільки єдиним є розклад вектора OM за базисом e1, e2, ...,en .

Очевидно, що

MN MO ON ON OM 1 1 e1 2 2 e2 ... n n en ,

де 1, 2, ..., n - афінні координати точки N Sn .

Якщо в афінному просторі Sn зафіксована деяка точка A і у векторному просторі Rn вибраний m -вимірний підпростір Um , то множина всіх точок M , для яких AM Um , називається m -вимірною площиною, що проходить через точку A в напрямі підпростору Um . Точки A і M називаються відповідно початковою і поточною точками площини, а Um - напрямним підпростором цієї площини.

108

При m 0 площина складається лише з точки A (нульвимірна площина). Одновимірна площина називається прямою лінією. Площина вимірності n 1 називається гіперплощиною, а при m n площина збігається з усім простором Sn .

Нехай в просторі Sn вибрана деяка афінна система координат з початком O і базисом e1, e2, ...,en . Розглянемо площину, що проходить через точку A в напрямі підпростору Um . Якщо Um

породжується лінійно незалежними векторами f1, f2, ...,fm , то радіус-

вектор OM поточної точки площини дорівнює (рис. 1)

i 1

де 1, 2, ..., m - параметри, які приймають усякі числові значення.

Якщо позначити OM x, OA f0 , то одержимо векторне рівняння m -вимірної площини:

параметричні рівняння площини в заданій системі координат:

Якщо f0 0 , то (14) є рівнянням напрямного підпростору Um . У випадку m 1 маємо векторне рівняння прямої лінії:

109

і її параметричні рівняння:

x j f0 j 1 f1j , j 1,n . (16)

Якщо з параметричних рівнянь виключити параметр 1 , то одержимо

канонічні рівняння прямої лінії:

координати точок).

Нехай точка A є початковою точкою прямої, її радіус-вектор дорівнює f0 1 2 5 2 T . Напрямний підпростір є одновимірним і визначається вектором AB 1 2 6 4 T . Отже, векторне рівняння

прямої (15) записується так: x 1 2 5 2 T 1 1 2 6 4 T , де 1 -

параметр.

Звідси одержуються параметричні рівняння (16):

x1 1 1, x2 2 2 1, x3 5 6 1, x4 2 4 1 .

Виключивши параметр 1 , одержимо канонічні рівняння прямої (17):

x1 1 2 2, x2 3 3 1 2 2, x3 1, x4 1 2 1 3 2 .

§2. Ранг матриці

Нехай задана m n -матриця A . Будемо розглядати стовпці A як вектори арифметичного простору Rm , а рядки – як вектори

110

простору Rn . Тоді можна вивчати лінійну залежність і незалежність

стовпців (рядків) матриці A .

Мінором i -го порядку m n -матриці A називається визначник i -го порядку з елементами, розміщеними на перетині будь-яких i стовпців та будь-яких i рядків матриці A .

Рангом матриці A називається максимальний порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Ранг матриці A позначається через r A . Ранг нульової матриці дорівнює нулю, крім того, ранг

задовольняє нерівностям: 0 r A min m,n .

Будь-який відмінний від нуля мінор порядку r A називається

базисним мінором, а стовпці і рядки, в яких він розміщений, називаються базисними. Зауважимо, що у матриці A базисний мінор може бути не один, крім того, будь-яка ненульова матриця A має принаймні один базисний мінор, а тому і принаймні одну систему базисних стовпців (рядків).

Теорема (теорема про базисний мінор). Базисні стовпці

(рядки) матриці лінійно незалежні і будь-який стовпець (рядок) є лінійною комбінацією базисних стовпців (рядків).

Із сформульованої теореми випливають наступні висновки:

вимірність підпростору, породженого деякою системою векторів дорівнює рангу матриці, складеної з координат цих векторів відносно будь-якого базису;

максимальна кількість лінійно незалежних стовпців (рядків) матриці дорівнює рангу матриці.

Теорема. Для того, щоб визначник матриці A порядку n

дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його стовпці (рядки) були лінійно незалежними.

Ефективним заходом при визначенні рангу ненульової m n - матриці A є зведення її за допомогою елементарних перетворень з рядками до ступінчастої матриці, яка має таку будову:

ненульові рядки розміщені вище нульових;

кожний провідний елемент, який є першим ненульовим елементом у своєму рядку (рахуючи зліва направо), дорівнює одиниці;

кожний провідний елемент розміщений праворуч від провідного елемента попереднього рядка.

Якщо G - ступінчаста матриця, то

111