Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный университет им. Т. Шевченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища Математика для Економістів

.pdf

Скачиваний:

573

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

5.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 552 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При цьому можливі три випадки:

1) a1b2 a2b1 (при a2 0 і b2 0 цю умову можна записати у

вигляді a1 b1 , що означає непропорційність коефіцієнтів при a2 b2

змінних x, y в рівняннях прямих l1 та l2). В цьому випадку система (5) має єдиний розв’язок (x0,y0), а прямі l1 та l2 перетинаються в точці

(x0,y0);

2)	a b	a b ,
2)	1 2	2 1	(при a2, b2, c2 0 цю умову можна записати у
	a1c2	a2c1

вигляді a1 b1 c1 , тобто при цьому пропорційні тільки коефіцієнти a2 b2 c2

при змінних x, y в рівняннях прямих l1 та l2). В цьому випадку система (5) не має розв’язків і l1 ||l2;


3)	a b			a b ,				(при a2, b2, c2 0 цю умову можна записати у
		1 2			2 1
	a1c2			a2c1
вигляді	a1		b1			c1	,	тобто при цьому пропорційні всі коефіцієнти у
	a2
		b2			c2

рівняннях прямих l1 та l2). В цьому випадку система (5) має нескінченну кількість розв’язків, а прямі l1 та l2 при цьому співпадають.

Розглянемо тепер прямі l1: y=k1x+m1 та l2: y=k2x+m2. Умови

паралельності і перпендикулярності прямих l1 та l2 мають вигляд:

k1 k2,

l1 l2

k1k2 1 .

l1 ||l2

m1 m2

Якщо k1 k2 і k1k2 1,

то гострий кут між прямими l1 та

l2 обчислюється за формулою

k2 k1

arctg

(6)

1 k1k2

Відстань (M ,l) від точки M(x0,y0) до прямої l: ax+by+c=0

знаходиться за формулою

(M ,l)

ax0 by0 c

(7)

a2 b2

зокрема, якщо пряма l має рівняння y=kx+m, формула (7) набуває вигляду

(M ,l)	y0	kx0	m	.	(8)


		k2 1

Відстань d(l1,l2) між паралельними прямими l1: y=kx+m1 та l2: y=kx+m2 знаходиться за формулою

d(l ,l	2	)	m1 m2			.	(9)
			m1 m2

1			k2 1
			k2 1
Рівняння кола радіуса R з центром в точці (x0,y0) має вигляд:
(x x0 )2 (y y0 )2						R2 .	(10)
Приклад 1. Знайти координати точки К, яка симетрична до
точки М(3;–2) відносно прямої l: y=4x+3.
				y
				l: y=4x+3
K
.					l2		x
					l2
	N				.
					.
					M(3;-2)

Рис. 1.

Точка К лежить на прямій l2, яка проходить через точку М і перпендикулярна прямій l (див. рис. 1). Оскільки l2 l , а кутовий коефіцієнт kl прямої l дорівнює 4, то пряма l2 має кутовий коефіцієнт


k2	1				1			. Тоді, згідно формули (2), рівняння прямої l2 має вигляд
k2								. Тоді, згідно формули (2), рівняння прямої l2 має вигляд
	kl		4
y ( 2)				1		(x 3)					y	1		x	5		.	Тепер знаходимо координати
			4										4			4
точки		N перетину								прямих			l та l2,					розв’язуючи систему рівнянь
y 4x 3,									y 4x 3,									y 4x 3 1,
	1		5								1		5					y 4x 3 1,
	1		5								1		5
y			x				,		4x 3				x			,		x 1.
y	4		x				,		4x 3				x			,		x 1.
	4		4								4		4

Таким чином, знайдено точку N(–1;–1). Нарешті, використовуючи формули координат середини відрізка, знаходимо координати точки К(xK,yK):

xK	3
		1,
	2

	2
yK
		1
	2

xK 5,

yK 0.

Приклад 2. Задано точки А(–4;0), В(0;3), С(0;0). Знайти рівняння бісектриси AL трикутника ABC. Знайти координати центра О кола, вписаного до трикутника ABC.

	y
y=-x	3	B
		L
-4	O
-4
A	C	x

Рис. 2.

Знайдемо довжини відрізків АВ, ВС, АС так, що ВС=3, АС=4,

AB 42 32 5 . За основною властивістю бісектриси AL трикутника

ABC (див. рис. 2) маємо: CL AC 4 , тобто точка L ділить відрізок


									LB				AB 5
СВ у відношенні 4:5.								Тому					координати точки L знаходимо за
формулами (1): xL=0, yL=							4	3 0					4			.
						5		3 0					4
						5
									4	1
									4				3
									5				3
Тепер рівняння прямої AL запишемо за формулою (4):
	x ( 4)	y 0			y						1	x		4	.
					y							x			.
	0 ( 4)		4	0				3					3
	0 ( 4)		3	0				3					3

Оскільки центр О кола, вписаного до трикутника АВС, є точкою перетину бісектрис, то його координати задовольняють систему

	1		4
y		x		,
y	3	x	3	,
	3		3	де y=–x – рівняння бісектриси кута С (див. рис. 2).

y x,
Розв’язком системи є пара (–1;–1).
Таким чином, AL: y					1	x	4	; O(–1;–1).
Таким чином, AL: y						x		; O(–1;–1).
				3		3

Елементи векторної алгебри на площині

A2 y2

y1	A1	φ
ey	1
ey	1
O	ex	x1	x2	x
		Рис. 3.
Вектором a		називається спрямований відрізок, що з’єднує

точки А1 та А2, при цьому точка А1 називається початком, а точка

А2 – кінцем цього		вектора. Довжина відрізку						А1А2	називається
модулем вектора a		і позначається					або а. Нульовим вектором
				a
0 називається вектор нульової довжини.
Вектор e	з одиничним модулем						1 називається одиничним
					e
вектором або ортом. Будь-який							вектор	a	може	бути
представлений за допомогою орта e власного напряму у										вигляді
a =аe .		ey
Через ex	та		позначимо				орти додатних		напрямків
координатний осей Ox та Oy відповідно (див. рис. 3).
Проекції вектора a			на вісі Ox та Oy позначимо через ax та ay
відповідно. Вони виражаються рівностями
			ax=a cos =x2–x1,
			ay=a sin =y2–y1,
і називаються	також координатами						вектора	a . Тут		– кут
напрямку вектора, А1(x1,y1) – початок,						A2(x2,y2) –		кінець вектора a
(див. рис. 3).

Вектори називаються рівними, якщо вони мають рівні довжини і однаковий кут напряму. Очевидно, що рівні вектори мають рівні координати.

Для знаходження суми векторів a і b , які мають спільний початок, застосовують правило паралелограма: їх сумою називається векторна діагональ c1 паралелограма, побудованого на цих векторах (див. рис. 4).

Для векторів a і b , розташованих послідовно (тобто так, що

кінець вектора a є початком вектора b ), сума c1 =a +b знаходиться за допомогою правила трикутника: початком вектора c1 є

початок вектора a , а кінцем вектора c1 є кінець вектора b (див. рис. 5).

a	c2
	c1	a
		c1
	b
a +b =c1	a -b =c2	a +b =c1
	Рис. 4.	Рис. 5.

Різницею a –b векторів a і b називається вектор c2 такий, що a =b +c2 . Для векторів a і b , які мають спільний початок, різницею


c2 =a –b називається векторна діагональ					c2	паралелограма,		яка
з’єднує кінці векторів a і b (див. рис. 4).
Довжина цієї діагоналі є модулем різниці векторів a							і	b і
знаходиться за теоремою косинусів:

c2 =				= a2 b2 2ab cos	,			(11)
c2 =		a b		= a2 b2 2ab cos	,			(11)
де – кут між векторами a і b .
Аналогічно модулем суми векторів a					і	b є довжина	іншої
діагоналі цього паралелограма, яка знаходиться за формулою

c1 =			= a2 b2 2ab cos ,					(12)
c1 =	a b		= a2 b2 2ab cos ,					(12)

де – кут між векторами a і b .

Будь-який вектор a представляється у вигляді суми

a =ax ex +ay ey , де ax

та ay – координати вектора a . Використовується

також

запис

вектора

a =(ax,ay).

Нульовий

вектор

має

нульові

координати, тобто 0 =(0;0).

Модуль

вектора

при

цьому виражається

через його

координати за формулою

ax2 bx2 , а координати суми (різниці)

векторів a і b :

a +b =(ax bx ,ay by ) ;

a –b =(ax bx ,ay by ).

При множенні вектора a =(ax,ay) на число отримуємо вектор

a =( ax, ay).

Операції суми (різниці) векторів і множення вектора на число

мають наступні властивості:

a +b =b +a ;

a m=ma ;

0a =0 ;

(a +b )+c =a +(b +c );

m(na )=(mn) a ;

1a =a ;

a +0 =a ;

ma +na =(m+n) a ;

a –b =a +(–1) b .

m(a +b )=ma +mb ;

a –a =0 ;

векторів a

і b називається число

Скалярним добутком a b

де

–

кут між

(скаляр), яке визначається рівністю a b ab cos ,

векторами a і b .

Операція скалярного добутку має наступні властивості:

b) ;

a b

b a ;

a (b

c )

b a

c ; (ma) (nb) mn(a

a a2 .

Якщо a =(ax,ay), b =(bx,by), то скалярний добуток

ayby

(13)

a b axbx

Використовуючи означення скалярного добутку та рівність (13), отримаємо вирази для косинуса кута між векторами a =(ax,ay), b =(bx,by):

			axbx ayby
a b			axbx ayby
cos
	ab
		ax2 ay2		bx2 by2
		ax2 ay2		bx2 by2

Враховуючи рівність (13), умова перпендикулярності векторів a =(ax,ay), b =(bx,by) має вигляд

		axbx	ayby	0 .	(14)
a b	a b 0

Однаково спрямовані вектори, кут між якими =0, та протилежно спрямовані вектори, кут між якими , називаються

також паралельними векторами (при цьому пишуть a ||b ).

Умова паралельності векторів a =(ax,ay), b =(bx,by) має вигляд

	axby	aybx .	(15)
a \|\|b a b ab

Зокрема, якщо координати ax, ay, bx, by не рівні нулеві, з умови

(15)слідує пропорційність відповідних координат паралельних

векторів, тобто ax ay . bx by

Відзначимо також, що у випадку b =0 =(0;0) виконуються

обидві умови (14) та (15). Це означає, що нульовий вектор 0 вважається одночасно як перпендикулярним, так і паралельним до будь-якого вектора a .

Приклад 4. Кут між векторами a і b дорівнює 120 , а їх

модулі а=2 і b=1. Знайти: а) скалярний добуток векторів a +2b і b –a ;

б) кут між векторами a +2b і b –a .
а)	Використовуючи		означення			та властивості
добутку,	маємо						= 2b2
		(a 2b) (b	a)=a	b a	a	2b b 2b a

скалярного

a a b =

= 2 12 22 2 1 cos120 =

2 4 2 12

= –1.

б) Обчислимо спочатку модулі векторів a +2b і b –a відповідно

за формулами (12) та (11):

= 22

22 2 2 2cos120

a 2b

=2;

b a

2 1 2cos120 = 7 .

Тепер,

використовуючи

також

обчислене

вище

значення

знаходимо косинус

кута

між

скалярного добутку (a

2b) (b a)=–1,

векторами a +2b і b –a :

cos

(a 2b)(b a)

a 2b

2 7

Звідси слідує, що arccos

arccos

Приклад 5. Кут між векторами

і b

дорівнює 120 ,

а їх

модулі а=2 і b=1. При якому значенні

вектор

a b є

перпендикулярним до вектора a ?

Враховуючи умову

(14)

перпендикулярності та властивості

скалярного добутку векторів, маємо (a b) a

(a b) a 0

				a2 ab cos120 0		22 2 1 12 0
a	a	a b 0

4 .

§2. Площина та пряма у просторі. Площина у просторі

Рівняння площини , що проходить через точку M0(x0,y0,z0 ) перпендикулярно вектору n (a,b,c), який називається вектором нормалі:

a(x x0 ) b(y y0 ) c(z z0 ) 0 ,								(14)

Оскільки M n	M0M n			M0M 0 .
Розкриваючи			дужки		у	формулі	(14),	маємо
ax by cz (ax0 by0		cz0 ) 0 .			Позначаючи		(ax0 by0	cz0 ) d ,
маємо загальне рівняння площини у просторі:
: ax+by+cz+d=0.								(15)

Очевидно, що коефіцієнти при змінних у загальному рівнянні площини є координатами вектора нормалі до даної площини, отже a, b, c не можуть одночасно обертатись в нуль.

Умови паралельності та перпендикулярності площин

Нехай задано дві площини:

1 :

a1x b1y c1z d1 0 ,

2 :

a2x b2y c2z d2 0 .

||n

1 2 n

1 n

2 a1a2 b1b2 c1c2 0 .

Відстань

від

точки

M0 (x0,y0 ,z0 )

до

площини

:ax+by+cz+d=0:

(M0 , )

ax0

by0

cz0

(16)

a2 b2 c2

Види рівнянь прямої у просторі 1. Пряма як перетин двох непаралельних площин

задається системою рівнянь

:				a x b y c z d 0
	1		:	1	1	1		1		(17)
		2		a	x b y c		2	z d	2	0
				2	2

за умови, що n1 не є паралельним до n2 . З точки зору практичного застосування більш зручним є наступний тип рівняння прямої.

2. Канонічне рівняння прямої p (пряма, що проходить через точку M0 (x0 ,y0 ,z0 ) паралельно вектору a (l,m,n), який називається напрямним вектором до прямої p):

p:	x x0	y y0	z z0	,	(18)
	l	m
			n

оскільки точка M p M0M ||a .

3.	Рівняння прямої p, що проходить через дві задані
точки M0 (x0 ,y0 ,z0 ) та M1(x1,y1,z1 ).
	p:	x x0	y y0	z z0	,	(19)
		x1 x0	y1 y0
				z1 z0

оскільки за напрямний вектор можна вибрати a M0M .

Приклад 6. Пряма задана як перетин двох площин

x y z 0

Скласти канонічне рівняння цієї прямої.

2x y 2 0.

Знайдемо дві точки, через які проходить дана пряма, тобто

будь-які два

розв’язки

цієї

системи. Для цього виберемо

x0 0 .

Система набуває вигляду

y z 0

Її розв’язок y0 2 , z0 2 . Отже,

y 2 0.

M0 (0,2,2). Тепер

виберемо

x1 1. Маємо

систему

1 y z 0

Її

2 y

2 0.

розв’язок y1 4 ,

z1 5 . Отже, M1(1,4,5).

Підставляючи координати знайдених точок у рівняння (19),

маємо

канонічне

рівняння

даної

прямої:

x 0

y 2

z 2

y 2

z 2

1 0

4 2

5 2 1

Таким чином,

y 2

z 2

4. Параметричне рівняння прямої p. Прирівняємо всі відношення у канонічному рівнянні прямої (18) до нової змінної – параметра t та виразимо змінні x, y, z через t, маємо параметричне рівняння прямої:

x lt x0

y mt y0 , t R (20)

z nt z0

Умова паралельності прямих, заданих канонічними рівняннями

x x1

y y1

z z1

та p2:

x x2

y y2

z z2

p || p

||a

Взаємне розташування прямої та площини у просторі.

Нехай

задана

пряма

x x0

y y0

z z0

та

площина

: ax+by+cz+d=0.

p|| a

la mb nc 0 ,

p a

l m n

||n

де

(l,m,n) -

напрямний

вектор прямої

(a,b,c)

- вектор

p, n

нормалі площини .

Рівняння прямої p, що проходить через точку M0(x0,y0,z0 )

перпендикулярно до даної площини : ax by cz d 0 :

p a

(a,b,c), шукане рівняння

||n

, виберемо a

x x0

y y0

z z0

(21)

Рівняння

проходить

через

точку

площини

що

M0 (x0 ,y0 ,z0 )

перпендикулярно

до

даної

прямої

x x1

y y1

z z1

p n

(l,m,n) , шукане рівняння

||a

, виберемо n

l(x x0 ) m(y y0 ) n(z z0 ) 0 ,

(22)

тут ми скористалися рівнянням (14).

Приклад 7. У просторі задано площину 1 : x 3y 2z 4 0 ,

пряму p :

y 1

z 2

та точку M

(1,0, 3). Знайти:

1) рівняння площини 2 , що проходить через точку М0,

паралельної площині 1 ; 2) рівняння площини 3 , що проходить через точку М0,

перпендикулярної прямій p1;

3)рівняння прямої p2, що проходить через точку М0, перпендикулярної площині 1 ;

4)рівняння прямої p3, що проходить через точку М0, паралельної прямій p1;

<<< < Предыдущая 12 / 552 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.201663.49 Кб187Вирішення задач по земельному праву.doc
#
19.03.201546.15 Кб22ВИТОКИ СТРАХУВАННЯ.docx
#
05.12.2018170.5 Кб4Витрати вир-ва і собівартість продукції.doc
#
19.03.201590.27 Кб19Витяг - Види трудових договорів.docx
#
24.11.20191.22 Mб5ВИШКА_ШПОРИ.docx
#
19.03.20155.79 Mб573Вища Математика для Економістів.pdf
#
12.11.201958.72 Кб1ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3 (2).docx
#
12.11.201928.38 Кб2ВИЩИЙ АДМІНІСТРАТИВНИЙ СУД УКРАЇН3.docx
#
31.08.2019184.83 Кб1Влада і норми поведінки в первісному суспільств...doc
#
07.03.2016757.67 Кб19Вовк_Фольклористична_спадщина_викладачів.pdf
#
19.03.2015375.81 Кб21Волхвы.doc