- •краткий курс лекций
- •1.1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •1.2 Основные задачи курса
- •2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
- •2.1 Центральное проецирование
- •2.2 Параллельное проецирование
- •2.3 Основные свойства параллельного проецирования
- •2.4 Прямоугольное проецирование
- •3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ
- •4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Горизонталь
- •4.2 Фронталь
- •4.3 Профильная прямая
- •4.4 Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)
- •4.7 Прямые наибольшего уклона плоскости и определение углов наклона плоскости к плоскостям уровня
- •5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6.1 Фронтальная плоскость Ф
- •6.2 Горизонтальная плоскость Г
- •6.3 Профильная плоскость П
- •6.4 Вертикальная плоскость
- •6.5 Наклонная плоскость
- •6.6 Плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций
- •7. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •8. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •8.1 Взаимное положение точки и прямой
- •8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость
- •9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
- •10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
- •11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
- •12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
- •13.1 Поверхности вращения
- •13.2 Линейчатые поверхности
- •13.3 Поверхности второго порядка
- •13.4 Винтовые поверхности
- •13.5 Циклические поверхности
- •13.6 Топографические поверхности
- •14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
- •14.1 Построение линий на гранных поверхностях
- •14.2 Построение линий на поверхностях вращения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ
- •17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •17.1 Основное предложение аксонометрии
- •17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции
- •18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •18.1 Прямоугольная изометрия
- •18.2 Прямоугольная диметрия
- •18.3 Косоугольная фронтальная диметрия
- •19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК
- •20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
- •21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ
- •21.1 Плоскость частного положения
- •21.2 Плоскость общего положения
- •22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •22.1 Прямые профильного положения
- •23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •2. Пересечение прямой с плоскостью
- •24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ)
- •24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность
- •24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения
- •24.3 Третий тип задач - прямая и поверхность не имеют вырожденных видов
- •25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
- •25.1 Параллельность плоскостей
- •25.2 Пересечение плоскостей
- •26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРЫ СЕЧЕНИЯ
- •26.1 Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
- •26.2 Пересечение кривой поверхности плоскостью
- •26.2.1 Проецирующая плоскость
- •26.2.2 Заранее известен вид кривой (второй тип задач)
- •26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения
- •28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
- •28. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •28.1 Первый тип задач - обе поверхности имеют вырожденный вид
- •28.2 Второй тип задач - одна из поверхностей имеет вырожденный вид.
- •29. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •29.2 Третий тип задач - пересечение поверхностей общего положения
- •29.3 Частные случаи пересечения
- •30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
- •32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка
- •МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
- •34. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ
- •34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •34.2 Перпендикулярность плоскостей
- •35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
- •37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
- •39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
- •40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
- •41.1 Развертка поверхности пирамиды
- •41.2 Развертка конической поверхности
- •42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Цилиндрическая поверхность, как и призматическая вписанная (или описанная) в цилиндрическую поверхность и заменяющая её, состоит из параллелограммов. Натуральный вид параллелограммов можно построить двумя способами:
•либо по высоте и длине противоположных сторон;
•либо способом триангуляции, разбив параллелограмм на
два треугольника.
Построение параллелограммов по их основаниям и высоте проще. В этом случае необходимо определить высоты и отрезки оснований, на которые их делит высота.
Для определения высот параллелограммов при построении развёрток призматических и цилиндрических поверхностей строят натуральный вид «нормального» сечения этих поверхностей. Если поверхность призматическая, то высотами являются стороны нормального сечения, а если цилиндрическая - хорды, стягивающие дуги «нормального» сечения на которые разделена кривая, ограничивающая это сечение. Такой способ построения развёрток называет-
ся способом «нормального» сечения.
Пример 1. Построить полную развёртку поверхности треугольной призмы (рисунок 17-1) и нанести на ней точку М, принадлежащую поверхности.
Рисунок 17-1
Призма расположена таким образом, что её боковые ребра являются горизонталями, следовательно на виде сверху они имеют натуральную величину.
Чтобы построить «нормальное» сечение проведём вертикаль-
ную плоскость Б перпендикулярно к боковым ребрам призмы.
Построим натуру сечения с помощью дополнительного вида, выполненного по направлению горизонтали, перпендикулярной к плоскости Б. Стороны треугольника натурального вида сечения будут являться искомыми высотами параллелограммов.
Т.к. при построении развёртки углы и параллельности сохраняются, то на развёртке боковые ребра будут параллельны между собой и перпендикулярны прямой линии, в которую развернётся «нор-
мальное» сечение.
Построение развёртки начинается с проведения прямой линии, на которой откладываем длины сторон нормального сечения (высоты параллелограммов) 1-2, 2-3, 3-1.
Через концы этих сторон проведём прямые перпендикулярные им. На полученных перпендикулярах отложим отрезки боковых рёбер, измеренные на виде сверху относительно нормального сечения. Соединив между собой полученные точки отрезками прямых, получим развёртку боковой поверхности призмы. Присоединив к этой развёртке оба основания, получим полную развёртку поверхности призмы.
Чтобы построить на развёртке точку М, принадлежащую поверхности призмы, необходимо найти на развёртке положение прямой, на которой эта точка лежит. Для этого найдём точку пересечения этой прямой с плоскостью Б на натуральном виде сечения. Замерим расстояние 1-4 и отложим его на развёртке. Через полученную точку проведём прямую, параллельную ребрам призмы. Затем измерим на виде сверху длину отрезка - от нормального сечения до точки М и отложим его на развёртке.
Пример 5. Построить развёртку боковой поверхности эллиптического цилиндра и нанести на неё точку М, принадлежащую поверхности цилиндра (рисунок 17-2).
Для построения развертки заменяем цилиндрическую поверхность вписанной призматической поверхностью.
Перпендикулярно образующим цилиндра проводим наклонную плоскость Б.
С помощью дополнительного вида, построенного по направле-
нию фронтали, определяем натуральный вид «нормального» сечения.
Так как цилиндрическая поверхность имеет фронтальную плоскость симметрии, то построим развёртку только половины поверхности. Часть полуэллипса («нормальное» сечение будет эллипсом) разделим на шесть частей таким образом, чтобы стягивающие эти части хорды, возможно меньше отличались от дуг. Через точки деления проводим на поверхности цилиндра образующие. Таким образом половина поверхности цилиндра будет разбита на шесть параллелограммов.
Строим прямую линию, в которую развернётся «нормальное» сечение, и на ней откладываем длины хорд, стягивающих «нормальное» сечение. Через концы отложенных хорд (являющихся вы-
Рисунок 17-2
сотами параллелограммов) проводим перпендикулярные к ним прямые. Затем замеряем на виде спереди части образующих цилиндра, относительно нормального сечения и откладываем их на развёртке. Концы образующих соединяем плавной кривой.
Чтобы построить на развёртке точку М, наносим сначала на ней положение образующей, на которой эта точка лежит. Для этого измерим на натуральном виде нормального сечения хорду от точки 1 до точки 7, в которой эта образующая пересекается с плоскостью Б, и отложим её на развёртке. На проведённой через полученную точку 7 образующей откладываем отрезок, измеренный на виде спереди от нормального сечения до точки М.