- •краткий курс лекций
- •1.1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •1.2 Основные задачи курса
- •2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
- •2.1 Центральное проецирование
- •2.2 Параллельное проецирование
- •2.3 Основные свойства параллельного проецирования
- •2.4 Прямоугольное проецирование
- •3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ
- •4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Горизонталь
- •4.2 Фронталь
- •4.3 Профильная прямая
- •4.4 Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)
- •4.7 Прямые наибольшего уклона плоскости и определение углов наклона плоскости к плоскостям уровня
- •5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6.1 Фронтальная плоскость Ф
- •6.2 Горизонтальная плоскость Г
- •6.3 Профильная плоскость П
- •6.4 Вертикальная плоскость
- •6.5 Наклонная плоскость
- •6.6 Плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций
- •7. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •8. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •8.1 Взаимное положение точки и прямой
- •8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость
- •9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
- •10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
- •11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
- •12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
- •13.1 Поверхности вращения
- •13.2 Линейчатые поверхности
- •13.3 Поверхности второго порядка
- •13.4 Винтовые поверхности
- •13.5 Циклические поверхности
- •13.6 Топографические поверхности
- •14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
- •14.1 Построение линий на гранных поверхностях
- •14.2 Построение линий на поверхностях вращения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ
- •17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •17.1 Основное предложение аксонометрии
- •17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции
- •18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •18.1 Прямоугольная изометрия
- •18.2 Прямоугольная диметрия
- •18.3 Косоугольная фронтальная диметрия
- •19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК
- •20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
- •21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ
- •21.1 Плоскость частного положения
- •21.2 Плоскость общего положения
- •22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •22.1 Прямые профильного положения
- •23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •2. Пересечение прямой с плоскостью
- •24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ)
- •24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность
- •24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения
- •24.3 Третий тип задач - прямая и поверхность не имеют вырожденных видов
- •25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
- •25.1 Параллельность плоскостей
- •25.2 Пересечение плоскостей
- •26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРЫ СЕЧЕНИЯ
- •26.1 Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
- •26.2 Пересечение кривой поверхности плоскостью
- •26.2.1 Проецирующая плоскость
- •26.2.2 Заранее известен вид кривой (второй тип задач)
- •26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения
- •28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
- •28. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •28.1 Первый тип задач - обе поверхности имеют вырожденный вид
- •28.2 Второй тип задач - одна из поверхностей имеет вырожденный вид.
- •29. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •29.2 Третий тип задач - пересечение поверхностей общего положения
- •29.3 Частные случаи пересечения
- •30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
- •32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка
- •МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
- •34. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ
- •34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •34.2 Перпендикулярность плоскостей
- •35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
- •37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
- •39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
- •40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
- •41.1 Развертка поверхности пирамиды
- •41.2 Развертка конической поверхности
- •42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
двум образующим конуса.
Пара прямых – получается, если секущая плоскость проходит через вершину конуса. При этом прямые пересекаются в вершине.
26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения
Пример 7. Построить линию пересечения вертикальной призмы плоскостью общего положения Б (а//b), (рисунок 9-6).
Вся боковая поверхность призмы на виде сверху вырождается в треугольник; поэтому и сечение здесь совпадает с гранями призмы и находится в пределах отсека плоскости ограниченной линией PNМ.
Для построения этой линии на виде спереди необходимо определить положение точек M,N,P.
Точки Р и М принадлежат прямой а. Для построения т.N в плоскости Б проведем вспомогательную прямую 1-М.
Рисунок 9-6
Пример 8. Построить линию пересечения вертикального цилиндра плоскостью общего положения Б(АВС), (рисунок 9-7).
В данном случае имеем ответ на виде сверху, т.к. поверхность цилиндра вырождается здесь в окружность и линия пересечения совпадает с боковой поверхностью цилиндра NНQРМ.
Для построения ее на виде спереди используем ряд вспомогательных прямых в секущей плоскости, т.е. решаем задачу на
построение точки на плоскости по ее заданному виду.
Видимость определяем с помощью пространственного представления.
Пример 9. Построить линию пересечения плоскости общего положения Б (а//b) с поверхностью пирамиды (рисунок 9-8). Для построения сечения найдем точки пересечения ребер пирамиды с данной плоскостью, для чего трижды решим задачу на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения.
S Возьмем на плоскости вспомогательные прямые 1-2, 3-4 и 5-6 фронтально конкурирующие соответственно с ребрами SA, SB и SC и выясним их взаимное положение.
Так как ребра пирамиды пересекаются в одной точке S, то и все конкурирующие прямые будут пересекаться в точке S' фронтально-конкурирующей с вершиной S . В пересечении вспомогательных прямых с со-
Рисунок 9-8 ответствующими ребрами пирамиды находим вершины се-
чения, которые соединяем с учетом видимости отрезками прямых.
Пример 10. Рассмотрим построение линии среза технической детали, ограниченной несколькими поверхностями, одной фронтальной плоскостью Ф (рисунок 9-9).
Рисунок 9-9
Деталь представляет собой некоторое тело вращения, ограниченное поверхностью конуса, цилиндра и шара. Точки линии среза на поверхности конуса строятся при помощи параллелей р. Построение начинаем с нахождения крайней левой точки, для чего проводим на виде слева параллель р1, касательную к плоскости среза (радиуса R1) и находим ее положение на виде спереди. Для построения остальных точек проводим ряд параллелей, начиная их построение с вида спереди. Затем строим их на виде слева и находим точки пересечения с фронтальной плоскостью - это и будут точки линии среза.
Линия среза на цилиндре представляет собой пару прямых, а- на сфере - окружность, для построения которых точки находить не нужно.
27. ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К ПОВЕРХНОСТЯМ. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
Если через произвольную точку М кривой поверхности Б (рисунок 10-1) провести произвольные линии α,b и c, принадлежащие этой поверхности, а затем к этим кривым в точке М построить касательные прямые tα, tb и tc, то все касательные прямые будут лежать в одной плоскости Е, называемой ка-
сательной плоскостью к поверх-
ности.
Следовательно, касательная
плоскость является геометрическим местом всех касательных, проведенных к данной кривой поверхности и проходящих через одну ее точку.
Для построения касательной плоскости к поверхности в ее точке М достаточно через эту точку провести на поверхности только две кривые линии α и b, и к ним построить касательные прямые tα и tb (рисунок 10-2).
Рисунок 10-2
Две эти касательные прямые и определяют касательную плоскость Е. Вполне естественно, что в качестве таких кривых линий поверхности выбирают ее графически простые линии. Например, для линейчатых поверхностей одной из этих кривых может служить ее прямолинейная образующая, (она будет совпадать со своей касательной), а для поверхности вращения – ее параллель (окружность).
В зависимости от вида поверхности касательная плоскость может касаться ее в одной точке (рисунок 10-1 – сфера), по прямой линии (рисунок 10-2а – конус), по кривой линии (рисунок 10-2б – тор).
В приведенных примерах поверхность располагается по одну сторону от касательной плоскости и не пересекается последней. Однако касательная плоскость может и пересекать поверхность. Так, плоскость Е, касательная к однополостному гиперболоиду, пересекает его по двум образующим α и b, которые при этом являются и касательными tα и tb, определяющими касательную плоскость Е (рисунок 10-3).
Рассмотрим примеры построения касательной плоскости к различным поверхностям.
Пример 1. Построить плоскость Е, касательную к поверхности вращения в ее точке М (рисунок 10-4).
1 |
В качестве двух кривых линий поверхности, |
|
касательные к которым определят искомую |
||
M1 |
плоскость Е, выберем параллель h и меридиан |
|
M |
α, проходящие через точку М. |
|
|
Параллель h является окружностью, распо- |
|
|
ложенной горизонтально, и построение каса- |
|
|
тельной th к ней не составляет труда. Для по- |
|
|
строения касательной tα к меридиану α предва- |
|
M1 1 |
рительно преобразуем чертеж, повернув мери- |
|
диан вокруг оси поверхности вращения до |
||
M |
||
фронтального положения α1. При этом точка М |
||
|
||
|
займет положение М1. Теперь построим каса- |
|
|
тельную tα к фронтальному меридиану α1 в его |
|
Рисунок 10-4 |
точке М1 и, произведя обратное вращение, по- |
|
лучим искомую касательную к меридиану α. |
||
|
Касательная к поверхности вращения плос- |
кость Е определяется двумя пересекающимися прямыми th и tα. Пример 2. Построить плоскость Е, касательную к поверхности
конуса в его точке М (рисунок 10-5).
Так как конус – поверхность линейчатая, то, проведя через точку М образующую t (являющуюся в то же время и касательной), получим одну из прямых, определяющих искомую плоскость Е. Второй прямой будет касательная th к окружности на поверхности конуса h в
|
S |
|
|
|
|
|
A |
M |
1 |
|
Г |
N |
2 |
B |
|
1 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
M |
S |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 10-5 |
Рисунок 10-6 |
|
|
ее точке М.
Отметим, что касательная th параллельна касательной t1, проведенной в точке N к окружности основания конуса. Поэтому искомую касательную плоскость Е можно задать образующей t и касательной t1, не строя вспомогательной окружности h, проходящей через точку М.
Пример 3. Построить касательную к цилиндрической поверхности плоскость Е, проходящую через точку А, расположенную вне поверхности цилиндра (рисунок 10-6).
Поскольку искомая касательная плоскость должна содержать в себе образующую цилиндрической поверхности, то в качестве первой прямой, определяющей касательную плоскость, можно провести через данную точку А прямую α параллельную образующей цилиндра.
Если теперь провести через точку В (точку пересечения прямой α с плоскостью Г) касательные к окружности основания цилиндра прямые t1 и t2, то прямая α и касательные t1 и t2 определят две касательные плоскости Е(αхt1) и К(αхt2). Эти плоскости касаются поверхности цилиндра с разных сторон по его образующим т1 и т2.