- •краткий курс лекций
- •1.1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
- •1.2 Основные задачи курса
- •2. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ
- •2.1 Центральное проецирование
- •2.2 Параллельное проецирование
- •2.3 Основные свойства параллельного проецирования
- •2.4 Прямоугольное проецирование
- •3. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ В ТРЕХ ВИДАХ
- •4. ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •4.1 Горизонталь
- •4.2 Фронталь
- •4.3 Профильная прямая
- •4.4 Вертикальная прямая (горизонтально-проецирующая)
- •4.7 Прямые наибольшего уклона плоскости и определение углов наклона плоскости к плоскостям уровня
- •5. ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6. ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •6.1 Фронтальная плоскость Ф
- •6.2 Горизонтальная плоскость Г
- •6.3 Профильная плоскость П
- •6.4 Вертикальная плоскость
- •6.5 Наклонная плоскость
- •6.6 Плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций
- •7. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •8. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •8.1 Взаимное положение точки и прямой
- •8.2 Точка и плоскость, прямая и плоскость
- •9. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
- •10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА И УГЛОВ ЕГО НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ УРОВНЯ.
- •11. УСЛОВИЯ ВИДИМОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
- •12. ЛОМАНЫЕ И КРИВЫЕ ЛИНИИ (ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ). ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ
- •13.1 Поверхности вращения
- •13.2 Линейчатые поверхности
- •13.3 Поверхности второго порядка
- •13.4 Винтовые поверхности
- •13.5 Циклические поверхности
- •13.6 Топографические поверхности
- •14. ВЗАИМОПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ПОВЕРХНОСТИ, ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
- •14.1 Построение линий на гранных поверхностях
- •14.2 Построение линий на поверхностях вращения
- •АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •15. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •16. ПОКАЗАТЕЛИ ИСКАЖЕНИЯ ПО АКСОНОМЕТРИЧЕСКИМ ОСЯМ
- •17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КОСОУГОЛЬНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •17.1 Основное предложение аксонометрии
- •17.2 Свойства ортогональной аксонометрической проекции
- •18. СТАНДАРТНЫЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
- •18.1 Прямоугольная изометрия
- •18.2 Прямоугольная диметрия
- •18.3 Косоугольная фронтальная диметрия
- •19. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ТОЧЕК
- •20. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ
- •21. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПЛОСКОСТИ
- •21.1 Плоскость частного положения
- •21.2 Плоскость общего положения
- •22. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
- •22.1 Прямые профильного положения
- •23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
- •2. Пересечение прямой с плоскостью
- •24. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ (МНОГОГРАННОЙ И КРИВОЙ)
- •24.1 Первый тип задач – прямая общего положения и проецирующая поверхность
- •24.2 Второй тип задач –прямая частного положения и поверхность общего положения
- •24.3 Третий тип задач - прямая и поверхность не имеют вырожденных видов
- •25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
- •25.1 Параллельность плоскостей
- •25.2 Пересечение плоскостей
- •26. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ И ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРЫ СЕЧЕНИЯ
- •26.1 Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
- •26.2 Пересечение кривой поверхности плоскостью
- •26.2.1 Проецирующая плоскость
- •26.2.2 Заранее известен вид кривой (второй тип задач)
- •26.3. Пересечение поверхности плоскостью общего положения
- •28. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
- •28. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •28.1 Первый тип задач - обе поверхности имеют вырожденный вид
- •28.2 Второй тип задач - одна из поверхностей имеет вырожденный вид.
- •29. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •29.2 Третий тип задач - пересечение поверхностей общего положения
- •29.3 Частные случаи пересечения
- •30. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •31. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
- •32. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
- •32.1 Круговые сечения поверхностей второго порядка
- •МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
- •34. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ПЛОСКОСТЕЙ
- •34.1 Перпендикулярность прямой и плоскости
- •34.2 Перпендикулярность плоскостей
- •35. ВЗАИМНАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
- •36. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ УГЛА
- •СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
- •37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
- •39. СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ
- •40. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
- •41. РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
- •41.1 Развертка поверхности пирамиды
- •41.2 Развертка конической поверхности
- •42. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
37.ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА.
38.СПОСОБ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ (ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ).
39.СПОСОБ ВРАЩЕНИЯ.
37. ЦЕЛИ И ВОЗМОЖНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА
Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас объекты занимают в пространстве частное положение, т.е. располагаются параллельно или перпендикулярно плоскостям проекций.
Получающиеся в этом случае «вырожденные» проекции помогают получить ответ на поставленную задачу или упростить ход ее решения. Чтобы добиться такого расположения геометрических объектов, комплексный чертеж преобразуют или перестраивают, исходя из конкретных условий.
Преобразование чертежа отображает изменение положения геометрических образов или плоскостей проекций в пространстве. В основном используются два способа преобразования чертежа:
способ замены плоскостей проекций и способ вращения.
Так как частных положений у прямой два (прямая уровня и проецирующая прямая) и у плоскости два (плоскость уровня и проецирующая плоскость), то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа:
•Прямую общего положения сделать прямой уровня;
•Прямую уровня сделать проецирующей прямой;
•Плоскость общего положения сделать проецирую-
щей;
•Проецирующую плоскость сделать плоскостью уровня.
38. СПОСОБ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ВИДОВ (ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ)
Сущность этого способа заключается в том, что пространственное положение заданных объектов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые
изображения геометрических образов. При этом дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы интересующие нас объекты изображались на них в удобном для конкретной задачи положении.
Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.
38.1 Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.
Новую проекцию прямой, отвечающую поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т.е. перейти от системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций Ф, Г и П к некоторой новой системе плоскостей проекций, полученной вышеописанным способом.
На чертеже изображение новой плоскости проекций должно быть параллельно одной из основных проекций прямой. На рисунке 15-1 построено изображение прямой l(А,В) общего положения в новой системе плоскостей проекций , причем новая плоскость проекций перпендикулярна горизонтальной плоскости и параллельна (на горизонтальной проекции) прямой l. Новые линии связи проведены перпендикулярно новой плоскости проекций.
Новая проекция прямой дает истинную величину отрезка АВ и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (угол α).
|
|
|
|
Рисунок 15-1 |
|
Рисунок 15-2 |
|
Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости, которая будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций и параллельна прямой l (см. рисунок 15-2).
38.2 Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла про-
ецирующее положение (т.е. проецировалась в точку).
Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой, новую дополнительную плоскость нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на вертикальной плоскости П' Г (рисунок 15- 3), а фронталь, соответственно, на наклонной плоскости П" Ф.
Рисунок 15-3 |
|
Рисунок 15-4 |
|
|
|
|
|
|
Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой l общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоско-
стей проекций. На рисунке 15-4 исходный чертеж прямой l(А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости расположенной параллельно самой прямой l . В новой системе плоскостей проекций она заняла положение линии уровня. Затем введена вторая новая плоскость проекций перпендикулярная самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от первой дополнительной плоскости, то на второй плоскости получаем изображение прямой в виде точки (А=В= l).
38.3 Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.
Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно рас
положить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, учитывая что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной
плоскости общего положения. Тогда Рисунок 15-5 все линии этого уровня на новой
плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости.
На рисунке 15-5 показано построение нового изображения плоскости Д( АВС) в системе плоскостей П′ Г. Для этого в плоскости Д построена горизонталь h(A,1) и новая плоскость проекций П′ расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводит к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой базе отсчета определяет угол наклона α плоскости Д к горизонтальной плоскости проекций (α=Д^Г).
Построив изображение плоскости общего положения Д в системе П"┴Ф (П" расположить перпендикулярно фронтали f плоскости Д), можно определить угол наклона β этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.
2.4 Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.
Решение этой задачи позволяет определить истинную величину и форму плоской фигуры.
Новую плоскость проекций в этом случае нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально-
Рисунок 15-6