25. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости в пространстве могут:

•совпадать друг с другом;

•быть параллельными;

•пересекаться.

При совпадении плоскостей любая прямая одной плоскости будет совпадать с какой-либо прямой другой плоскости.

25.1 Параллельность плоскостей

Если две плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, (рисунок 8-9).

Это служит основным признаком для определения параллельности плоскостей, а также для построения двух параллельных плоскостей.

b

Рассмотрим применение этого признака на конкретном приме-

ре.

Пример 1. Построить плоскость, проходящую через т. М и параллельную заданной плоскости Б (а//b), (рисунок 8-10).

Для построения плоскости, параллельной заданной, сначала на плоскости Б построим пересекающиеся прямые, для чего проведем в плоскости Б произвольную прямую m. Затем проведем через т. М прямые с//а и d//m. Пересекающиеся прямые c и d задают искомую плоскость.

25.2 Пересечение плоскостей

Пересекающиеся плоскости имеют одну общую линию - линию пересечения. Для построения ее достаточно определить две точки или одну точку и направление линии пересечения.

Для построения линии пересечения двух плоскостей в общем случае необходимо знать способ построения. Однако некоторые задачи решаются исходя лишь из пространственного представления (путем моделирования).

Все задачи на пересечение плоскостей и поверхности плоскостью можно разделить на три типа.

Первый тип задач - плоскость имеет вырожденный вид.

Пример 1. Построим линию пересечения двух наклонных плоскостей Б и Д (рисунок 8-11).

Поскольку обе плоскости имеют вырожденный вид спереди (они перпендикулярны фронтальной плоскости), то и линия их пересечения тоже будет иметь вырожденный вид, т.к. и она будет перпендикулярна к фронтальной плоскости На виде спереди линия пересечения изображается точкой К, находящейся на пересечении изображений плоскостей Б и Д, а на виде сверху - прямой, параллельной линиям связи.

Пример 2. Построить линию пересечения наклонной Б и вертикальной Д плоскостей (рисунок 8-12).

Каждая из плоскостей имеет вырожденный вид - наклонная пл. Б -на виде спереди; вертикальная пл. Д- на виде сверху. А так как линия пересечения принадлежит каждой из них, то на виде спереди она будет совпадать с изображением наклонной, а на виде сверху - с изображением вертикальной плоскости

(см. свойства плоскостей перпендикулярных плоскостям уровня).

Пример 3. Построить линию пересечения наклонной плоскости Б и плоскости общего положения Д ( АВС), (рисунок 8-13).

Второй тип задач - задачи, где плоскости не имеют вырожденных видов. Такие задачи можно решить только освоив способ построения линий пересечения, о чем речь пойдет ниже.

Известно, что линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих поверхностей (или одну точку и направление линии пересечения).

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей общего положения, надо на этих плоскостях провести две пары конкурирующих линий и найти их точки пересечения, которые и определяют положение точки пересечения (рисунок 8-14).

Рисунок 8-14

Здесь показано построение линии пересечения двух плоскостей Б и Д с помощью двух пар конкурирующих линий l=m и с=d. Если конкурирующие прямые первой пары оказались параллельными (рисунок 8-14б, l=m), то следует взять вторую пару конкурирующих прямых непараллельных первой. В этом случае линия пересечения будет проходить через полученную т. М параллельно конкурирующим прямым l=m первой пары.

Пример 4. Построить линию пересечения плоскостей общего

Рисунок 8-15

положения Б (а//b) и Д (c//d), (рисунок 8-15).

Проведем пару фронтально-конкурирующих прямых t1 =t2. Пусть t1 принадлежит плоскости Б, a t2- плоскости Д. Прямые t1 и t2 пересекаются в т. М (это следует из вида сверху), первой точке линии пересечения плоскостей.

Для построения второй точки линии пересечения -N, проведем вторую пару фронтально-конкурирующих прямых t3=t4 параллельно первой. Полученные точки M и N соединим, это и есть линия пересечения плоскостей k.

О перпендикулярности плоскостей речь пойдет ниже.