23. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая линия по отношению к плоскости может занимать следующие положения:

•принадлежать плоскости;

•быть параллельной данной плоскости;

•пересекать эту плоскость.

Прямая принадлежит плоскости, если две её точки лежат в данной плоскости (рисунок 7-9).

Прямая линия параллельна плоскости, если эта прямая параллельна какой-нибудь прямой лежащей в данной плоскости (рисунок

7-10а).

Пример 1. Через данную точку А провести прямую параллельную наклонной плоскости Б (рисунок 7-10б). Искомая прямая m будет принадлежать наклонной плоскости, проходящей через т.А и параллельной

Рисунок 7-9

плоскости Б. Поэтому на виде спереди прямая m параллельна. вырожденному виду плоскости Б, а на виде сверху за-

нимает произвольное положение. Рисунок 7-10 Пример 2. Через точку М провести прямую п, параллельно

плоскости Б (а//Ь), (рисунок 7-10в).

Построим на плоскости Б произвольную прямую с, а затем проведем через точку М прямую п параллельную прямой с.

2. Пересечение прямой с плоскостью

Задача на пересечение прямой с плоскостью является од-

ной из основных задач начертательной геометрии.

Чтобы решить эту задачу в общем виде необходимо знать при-

ем, способ решения (алгоритм). Но если в задаче имеются вырожденные виды оригиналов, то такая задача требует просто развитого пространственного воображения.

Все задачи на пересечение прямой с плоскостью можно разделить на несколько типов:

• Первый тип задач - плоскости имеют вырожденный вид,

т.е. являются проецирующими, а прямая является прямой общего положения.

Основным методом решения задач этого типа является метод принадлежности. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 3. Построить точку К пересечения прямой l с вертикальной плоскостью Б (рисунок 7- 11).

Решение задачи следует начинать с вида сверху, где ответ уже имеется - общая точка для прямой и плоскости находится в месте их пересечения. По виду сверху точки К находим ее на виде спереди.

Заканчивается решение задачи определением видимости прямой l. На виде сверху все ее участки будут видимы, а на виде спереди будет видим участок, находящийся перед плоскостью, т.е. участок прямой правее точки

Рисунок 7-11 К. Это легко установить представив положение оригиналов в пространстве.

•Второй тип задач – прямая частного положения и имеет

вырожденный вид.

Пример 4. Построить точку пересечения К вертикальной прямой i с плоскостью Б ( АВС), (рисунок 7-12). Т.к. вырожденный вид прямой имеется на виде сверху, то решение начинаем с него.

Точка пересечения прямой i с плоскостью Б здесь совпадает с вырожденным видом самой прямой; i = К.

Рисунок 7-12

Чтобы построить т. К на виде спереди проведем на плоскости через т. К (вид сверху) произвольную прямую, например С-1. Построим эту прямую на виде спереди, и на пересечении прямой С-1 и l находим точку К. Видимость определяем представив (с помощью реконструкции чертежа) взаимное расположение оригиналов.

• Третий тип задач - задачи не содержат элементов частного положения, т.е. прямая и плоскость общего положения (вырож-

денного вида нет).

В этом случае (рисунок 7-13) решение задачи сводится к рассмотрению взаимного положения двух прямых - данной прямой l и некоторой прямой t, лежащей в плоскости Б.

Прямую t выбирают так, чтобы она была конкурирующей с прямой l. Конкурирующие прямые (на одном из видов их изображения совпадают) могут быть либо параллельны, либо пересекаться. Тогда, соответственно, прямая и плоскость, параллельны или пересекаются (см. рисунок 7-10).

Алгоритм решения: чтобы оп-

ределить взаимное положение прямой и плоскости, надо на плоскости провести вспомогательную прямую, конкурирующую с данной и рассмотреть их взаимное положение.

При этом возможны три варианта:

1.если данная прямая сливается с конкурирующей прямой, то прямая принадлежит плоскости;

2.если данная прямая параллельна конкурирующей прямой, то прямая параллельна плоскости;

3.если данная прямая пересекается с конкурирующей прямой, то прямая пересекает плоскость.

Пример 5. Определим взаимное положение прямой и плоскости Б( АВС), (рисунок 7-14).

Проводим в плоскости Б прямую t (1,2) фронтально-