Задачи для самостоятельного решения

1. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

2. В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй – 100 белых и 20 черных шаров. Из второй урны переложили в первую один шар, затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар белый?

3. На рисунке 5 изображена схема дорог. Туристы вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт А?

О

Н₁ Н₂ Н₃ Н₄

А

Рисунок 5

4. Некто, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса за час?

5. Установлено, что примерно 5% мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек:

а) мужчина;

б) женщина.

6. В первой корзине 1 красное и 2 зеленых яблока, во второй – 2 красных и 1 зеленое. Из первой корзины наудачу взяли одно яблоко и переложили во вторую корзину. Затем из второй корзины взяли два яблока. Какова вероятность, что оба взятых яблока зеленые?

7. Некий властелин разгневался на звездочета и повелел палачу отрубить ему голову. Однако в последний момент властелин смягчился и решил дать звездочету возможность спастись. Он взял два черных и два белых шара и предложил звездочету произвольным образом распределить их по двум урнам. Палач должен выбрать наугад одну из урн и наугад вытащить из нее шар. Если шар окажется белым, то звездочет будет помилован, а если черный, казнен. Как должен звездочет распределить шары по двум урнам, чтобы иметь наибольшее число шансов спастись?

8. Из 26 костей домино случайно выбираются две. Найти вероятность того, что из них можно составить «цепочку» согласно правилам игры.

9. * Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) из урны, содержащей 1 белый и 4 черных шара. Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятность выигрыша первого участника.

5 Повторные независимые испытания

5.1 Основные формулы

Под «схемой повторных независимых испытаний» понимают следующее:

Производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р и не произойти с вероятностью . Тогда вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит k раз, можно найти по формулам из таблицы 2.

Таблица 2 – Основные формулы

Название формулы	Запись формулы	Условия применения формулы	Примечания о точности формулы
1. Формула Бернулли	, где	п – невелико ( ),	Дает точное значение
2. Локальная формула Муавра–Лапласа	, где ( – см. примечание 1)	п – велико ( )	тем точнее, чем р ближе к 0,5
3. Формула Пуассона	, где	п – очень велико ( ), р – очень мало ( )	тем точнее, чем больше п и меньше р
4. Простейший пуассоновский поток событий (ПППС)	, где  – среднее число событий в единицу времени	Для ПППС

Продолжение таблицы 2

5. Интегральная формула Муавра- Лапласа

, где , , (Ф(х) – см. примечание 2)

п – велико, k принимает целые значения в

1. тем точнее, чем больше п и р ближе к 0,5 2.

Примечание 1. Функция имеет вид

.

График называют кривой Гаусса (рисунок 6).

у

0 1 4 х

Рисунок 6 – График функции (кривая Гаусса)

Свойства функции :

1) – четная функция, то есть ;

2) при .

Для значений составлены таблицы (см. приложение Е).

Примечание 2. В формуле 5 для вычисления используется функция

.

Функцию называют функцией Лапласа (рисунок 7). График имеет вид:

у

0,5

–5 –1 0 1 5 х

–0,5

Рисунок 7 – График функции (кривая Лапласа)

Свойства функции :

1) – нечетная функция, то есть ;

2) при .

Для значений составлены таблицы (см. приложение Ж).

Пример 1. Всхожесть семян некоторой культуры 90%. Найти вероятности следующих событий:

а) из 10 случайно отобранных семян взойдет не менее 8;

б) из 100 семян взойдет ровно 80 семян;

в) из 100 семян взойдет не менее 70 семян и не более 95 семян.

Решение.

а)		Так как проводится п независимых испытаний и п невелико ( ), то применяем формулу Бернулли: .
		1) .

2) .

3) .

.

б)		Так как п – велико ( ), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа: , где ,

1) .

2) – четная функция, .

Находим по таблице .

3) Тогда .

Так как полученная вероятность очень мала, то событие, что из 100 семян взойдет ровно 80, практически невозможно.

в)		Так как и принимает целые значения из промежутка , то применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа. Расчеты удобно выполнять последовательно:
		1) .

2) .

3) .

4) .

5) Находим по таблице

6) Тогда .

Пример 2. Вероятность того, что зерно заражено вредителями, равна 0,002. Найти вероятность того, что из 1000 зерен будет не менее трех зараженных вредителями.

Решение. По условию имеем:

	. Так как в правой части равенства много слагаемых, то лучше найти вероятность противоположного события: . Так как п – велико, р – мало, применяем формулу Пуассона.

.

1) .

2) .

3) .

.

Пример 3. Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была не менее 0,9?

Решение.

По условию имеем:

	так как ,
п = ?

Прологарифмируем обе части равенства:

Разделим обе части неравенства на , учитывая, что

:

,

то есть .

Если сделать не менее 7 выстрелов, то вероятность хотя бы одного попадания в цель будет не менее 0,9.

Пример 4. Среднее число заявок, поступающих на склад в течение часа, равно 2. Найти вероятность того, что в течение получаса поступит более двух заявок.

Решение. Последовательность поступления заявок можно рассматривать как ПППС.

	. Так как в правой части равенства много слагаемых, то удобнее перейти к вероятности противоположного события: .

Для ПППС справедлива формула .