- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Введение
- •Часть 1. Случайные события
- •Комбинаторика
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2 Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события. Непосредственный подсчет вероятности
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3 Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4 Полная вероятность. Формулы Байеса (Бейеса)
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5 Повторные независимые испытания
- •5.1 Основные формулы
- •5.2 Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
- •5.3 Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Часть 2. Случайные величины
- •1 Дискретные случайные величины
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2 Непрерывные случайные величины
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3 Частные виды распределений непрерывных случайных величин
- •Нормальное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2 Показательное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3 Равномерное распределение
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Закон больших чисел
- •Задачи для аудиторного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5 Цепи Маркова
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Список использованной литературы
- •Приложения
- •Задачи для подготовки к контрольной работе №1
- •Задачи для подготовки к контрольной работе №2
- •Дополнительные задачи по курсу теории вероятностей
- •Тесты по теории вероятностей Вариант 0
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вопросы для подготовки к экзамену по теории вероятностей
- •Теория вероятностей
- •426069, Г. Ижевск, ул. Студенческая, 11.
3 Частные виды распределений непрерывных случайных величин
Наиболее изученными видами распределений непрерывных случайных величин являются нормальное, показательное, равномерное (см. таблицу 7). Кроме этих распределений в курсе математической статистики широко используются более сложные виды распределений: распределение Стьюдента, Фишера-Снедекора, Пирсона и другие.
Примечание 1. Для нормального распределения вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа , вычисляется по формуле:
.
Примечание 2. «Правило трех сигм»: если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно , что все ее значения заключены в интервале .
Нормальное распределение
Пример 1. Нормальное распределение непрерывной случайной величины задано функцией плотности
.
1) Определить математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
Таблица 7 – Частные виды распределений непрерывных случайных величин
Название распределения |
Вид функции плотности |
Вид функции распределения |
Вероятность попадания в интервал |
Числовые характеристики |
Нормальное распределение |
|
|
|
|
Показательное распределение |
|
|
|
|
Равномерное распределение |
|
|
|
|
2) Построить схематически график функции плотности.
3) Записать функцию распределения и построить ее график.
Решение. 1) Функция плотности для нормального распределения имеет вид
.
Отсюда видно, что математическое ожидание , среднее квадратическое отклонение .
2) График функции плотности изображен на рисунке 23.
у
х
а
Рисунок 23
Таблица 8 – Основные точки графика функции
х |
|
(точка максимума) |
|
(точки перегиба) |
|
|
|
Тогда график заданной функции изображен на рисунке 24.
у
–14 –8 –5 –2 4 х
Рисунок 24
3) Функция распределения нормального закона имеет вид
.
Тогда для нашего случая
,
график этой функции изображен на рисунке 25.
у
1
–5 0 х
Рисунок 25
Пример 2. Вес подавляющего числа плодов находится в интервале от 70 до 100 г. Считая вес плодов нормально распределенной случайной величиной, найти:
1) процент плодов, вес которых находится в интервале от 75 до 95 г,
2) величину, которую превзойдет вес 90% плодов.
Решение. 1) Введем непрерывную случайную величину Х – вес плода. Так как Х имеет нормальное распределение, то справедлива формула
.
Сначала найдем параметры а и . Из условия задачи следует, что с большой вероятностью Х находится в интервале от 70 до 100 г. Используя «правило трех сигм», имеем:
Решая систему уравнений, получаем г, г (здесь – средний вес плода).
Эту задачу можно решить, используя формулу вероятности заданного отклонения
,
так как интервал (75; 95) симметричен относительно , а .
.
То есть 95% плодов имеют вес, находящийся в интервале от 75 до 95 г.
2) Обозначим А – величина, которую превзойдет вес 90% плодов. Тогда
(вместо максимального веса плода верхнюю границу изменения Х можно принять равной , так как на результат это практически не влияет).
Это уравнение удобнее представить в виде
.
Учитывая, что функция Лапласа является нечетной, то есть , получаем .
По таблице значений функции Лапласа находим
90% плодов будут иметь вес больше 79 г.
Пример 3. Норма высева семян на 1 гектар 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг.
1) Найти допуск, обеспечивающий нормальный посев на 1 га с гарантией 95%.
2) Определить количество семян, обеспечивающих нормальный посев на площади 40 га с гарантией 95%.
Решение. 1) Введем случайную величину Х (кг) – фактический расход семян на 1 га. Из условия задачи кг (среднее значение или норма), кг. Под допуском понимают величину отклонения фактического значения от нормы. Найдем из условия . Так как справедлива формула , то
По таблице значений функции Лапласа находим
(кг) – искомый допуск.
То есть фактический расход семян с вероятностью 0,95 будет заключен в интервале
2) Введем случайные величины:
– фактический расход семян на первом гектаре;
– фактический расход семян на втором гектаре;
………
– фактический расход семян на сороковом гектаре;
Х – фактический расход семян на 40 гектарах.
Тогда
.
Используем свойства математического ожидания и дисперсии:
,
(кг),
(кг).
,
(кг 2),
(кг 2),
Отсюда (кг).
По условию задачи , здесь , . Аналогично пункту 1, получим
отсюда
(кг).
Таким образом, фактический расход семян, обеспечивающих нормальный посев на площади 40 га с гарантией 95%, будет заключен в интервале