Задачи для аудиторного решения

1. Написать функцию плотности и функцию распределения показательного закона, если параметр . Построить графики этих функций.

2. Найти математическое ожидание и дисперсию показательного распределения, заданного при :

а) функцией плотности ;

б) функцией распределения .

3. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией плотности при ; при .

1) Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0,1; 0,5).

2) Найти вероятность, что в 3 испытаниях непрерывная случайная величина Х ни разу не попадет в интервал (0,1; 0,5).

4. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение с . Найти вероятность, что .

5. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т – времени ожидания очередной машины контролером, – если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону .

6. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за время длительностью часов:

а) элемент откажет;

б) элемент не откажет.

Задачи для самостоятельного решения

1. Написать функцию плотности и функцию распределения показательного закона, если параметр . Построить графики этих функций.

2. Найти математическое ожидание и дисперсию показательного распределения, заданного при :

а) функцией плотности ;

б) функцией распределения .

3. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией плотности при ; при .

1) Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0; 5).

2) Найти вероятность, что в 4 испытаниях непрерывная случайная величина Х хотя бы один раз попадет в интервал (0; 5).

4. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение , второго . Найти вероятность того, что за время длительностью часов:

а) оба элемента откажут;

б) оба элемента не откажут;

в) только один элемент откажет;

г) хотя бы один элемент откажет.

3.3 Равномерное распределение

Пример 1. Плотность равномерного распределения непрерывной случайной величины Х сохраняет в интервале (–3; 12) постоянное значение С, вне этого интервала функция плотности равна 0. Найти:

а) параметр С и записать аналитическое выражение функции плотности ;

б) функцию распределения , построить ее график;

в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х;

г) вероятность того, что непрерывная случайная величина Х попадет в интервал (–3,5; 9).

Решение. 1) Изобразим график функции плотности (рисунок 29).

у

С

–3 0 12 х

Рисунок 29

По свойству функции плотности имеем

.

Отсюда .

Тогда аналитическое выражение для функции плотности будет иметь вид

2) Функция распределения имеет вид:

У нас , тогда

График этой функции изображен на рисунке 30.

у

1

–3 0 12 х

Рисунок 30

3) Найдем числовые характеристики распределения:

4) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х попадет в интервал (–3,5; 9), найдем по формуле . Заметим, что в нашем случае все возможные значения случайной величины заключены в интервале (–3; 12), тогда

.

Пример 2. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не более 3 мин.

Решение. Обозначим Т – время прихода пассажира на остановку. Очевидно, что непрерывная случайная величина Т имеет равномерное распределение, так как все моменты времени равновозможны. Промежуток времени между двумя автобусами равен 5 мин, поэтому время ожидания пассажира . Время ожидания пассажира будет не более трех минут, если момент прихода пассажира (рисунок 31).

0 2 5 t

Рисунок 31

Найдем искомую вероятность:

.