4 Полная вероятность. Формулы Байеса (Бейеса)

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий , которые образуют полную группу попарно несовместных событий, то есть

з ависимые события

.

несовместные события

События называют гипотезами, так как неизвестно, какое из этих событий произойдет в конкретном испытании. Тогда вероятность события А находят по формуле полной вероятности:

.

Примечание 1. Сумма вероятностей гипотез равна единице:

.

Допустим, что в результате испытания событие А произошло. Тогда переоценку вероятностей гипотез можно сделать по формулам Байеса:

Примечание 2. Сумма условных вероятностей гипотез равна единице:

Пример 1. На сборку телевизоров поступают микросхемы от двух поставщиков, причем 70% микросхем от первого поставщика, 30% – от второго. Брак микросхем первого поставщика составляет 2%, второго – 3%.

1) Какова вероятность, что взятая наудачу микросхема окажется бракованной?

2) Взятая наудачу микросхема оказалась бракованной. Какова вероятность, что микросхема изготовлена первым поставщиком? Вторым поставщиком?

Решение. 1) Обозначим

– взятая наудачу микросхема изготовлена первым поставщиком,

– взятая наудачу микросхема изготовлена вторым поставщиком,

А – взятая наудачу микросхема дефектная.

Тогда .

По условию имеем

Сделаем проверку: (верно).

Из условия задачи следует, что

; .

Тогда по формуле полной вероятности

.

2) Пусть событие А – взятая наудачу микросхема дефектна – произошло в результате испытания. Найдем вероятность того, что эта микросхема была изготовлена первым поставщиком по формуле Байеса:

.

Аналогично, вероятность того, что микросхема была изготовлена вторым поставщиком:

.

Сделаем проверку: (верно).

Как видим, произошла «переоценка» вероятностей гипотез после факта наступления события А:

а ;

а .

Пример 2. По самолету производится 3 выстрела с вероятностями попадания 0,5; 0,6; 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3; при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

Решение. Введем событие В – в результате трех выстрелов самолет сбит. Гипотезы:

– в результате трех выстрелов не произошло ни одного попадания;

– в результате трех выстрелов произошло одно попадание;

– в результате трех выстрелов произошло два попадания;

– в результате трех выстрелов произошло три попадания.

Тогда ,

.

Найдем вероятности гипотез:

,

,

,

,

Условные вероятности появления события В:

; ; ; .

В итоге имеем

.

Задачи для аудиторного решения

1. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по тому же шоссе, как 2:1. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и одна из 25 легковых машин подъезжают к бензоколонке для заправки. Найти вероятности следующих событий:

а) по шоссе проедет грузовая машина, и она будет заправляться;

б) по шоссе проедет легковая машина, и она будет заправляться;

в) проезжающая по шоссе машина будет заправляться.

2. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 30 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Чему равна вероятность того, что шар вынут из первого ящика? Из второго ящика? Из третьего ящика?

3. На рисунке 4 изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта А, выбирая наугад на развилке дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт В?

1

А 2

4 3 В

Рисунок 4

4. В первом ящике было 5 лампочек, из них 3 нестандартных, во втором ящике – 5 стандартных и 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взяли 1 лампочку и переложили ее во второй ящик. Затем из второго ящика наудачу достали одну лампочку. Какова вероятность того, что лампочка стандартна?

5. В корзине 3 красных и 2 зеленых яблока. Наудачу из корзины взяли два яблока. Затем достали еще одно яблоко. Какова вероятность, что оно красное?

6. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

Указание: Ввести гипотезы: – оба охотника попали; – первый охотник попал, второй промахнулся; – первый промахнулся, второй попал; – оба охотника промахнулись. Событие А – одно попадание в мишень.

.