2 Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности события. Непосредственный подсчет вероятности
Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение
,
где п – число всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу попарно несовместных событий, т – число исходов, благоприятствующих событию А из п равновозможных исходов.
Из определения
следует, что
.
Статистическое определение вероятности. Пусть данный опыт при одних и тех же условиях повторяют N раз (серия опытов) и событие А произошло М раз. Тогда величину
называют относительной
частотой
или частостью
события А.
При увеличении числа опытов N
частость
приближается к
,
поэтому на практике считают
.
Геометрическое
определение вероятности. Пусть
отрезок
.
На отрезке L
наудачу
выбирается точка. Тогда вероятность
события А
– попадания точки на отрезок l
равна
.
Аналогично
,
.
Пример 1. В урне 4 красных, 3 белых и 5 синих шаров. Наудачу извлекают 1 шар. Какова вероятность, что извлекли белый шар?
Решение. Введем
событие А
– из урны извлечен белый шар. Используем
классическое определение вероятности
события
.
Всего в урне
шаров, то есть
(число всех равновозможных элементарных
исходов). Из них 3 белых шара, поэтому
(число благоприятствующих исходов).
Тогда
.
Пример 2. Задумано двузначное число. Какова вероятность того, что оно содержит хотя бы одну цифру 5?
Решение. Обозначим
событие А
– задуманное (выбранное наугад) число
содержит хотя бы одну цифру 5. Всего
двузначных чисел:
Из них содержат
цифру 5:
Тогда
.
Пример 3. Обозначим событие А – из трех пойманных рыб все 3 меченые. В водоеме 6 меченых и 4 немеченых рыбы. Случайным образом отлавливают 3 рыбы, не возвращая их обратно. Вычислить вероятность того, что все 3 рыбы – меченые. Что означает на практике полученный результат?
Решение. Количество
равновозможных событий при отлове 3 рыб
из 10 рыб равно
.
Из них благоприятствующих событий
.
Значит,
.
С точки зрения статистического определения вероятности имеем:
,
то есть если из данного водоема 1000 раз отлавливать 3 рыбы, то примерно 167 раз все 3 рыбы будут меченые.
Пример 4. В корзине 3 красных и 2 зеленых яблока. Наудачу выбирают 3 яблока. Какова вероятность того, что среди выбранных яблок 2 красных?
Решение. Обозначим
событие А
– среди выбранных 3 яблок 2 яблока
красные. Количество равновозможных
событий
.
Обозначим красные
яблоки –
,
,
,
зеленые –
,
.
Благоприятствующими являются комбинации,
содержащие 2 красных и 1 зеленое яблоко.
.
Следовательно,
.
Пример 5. Стрелок делает 70 выстрелов, из них 12 промахов. Какова вероятность попадания в мишень?
Решение. Событие
А
– это попадание в мишень при одном
выстреле. Так как исходы «попал в мишень»,
«не попал в мишень» не являются
равновозможными, то классическое
определение вероятности применить
нельзя. Тогда используем статистическое
определение вероятности события
.
Здесь
– общее число испытаний,
– число попаданий в мишень. Тогда
.
Пример
6. Даны точки
и
.
На отрезок АВ
наудачу бросают точку. Какова вероятность,
что точка попадет на отрезок
?
Решение.
–3 –1 3 10
А С D В х
Рисунок 1
Введем событие А
– точка, брошенная на отрезок АВ,
попадет на отрезок CD.
Используем геометрическое определение
вероятности события
.
Найдем длины отрезков АВ
и CD.
Используем формулу
.
В нашем случае
,
значит
,
где
.
Тогда
.