Задачи для самостоятельного решения

1. Среднее число трамваев, проходящих за час, равно 10. Оценить с помощью неравенства Маркова вероятность того, что за полчаса пройдет более 20 трамваев.

2. Средняя продолжительность жизни кошки 8 лет. Оценить с помощью неравенства Маркова, что жизнь случайно выбранной кошки не превысит 20 лет.

3. Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000 л в день.

4. Вероятность того, что студент сдаст экзамен на отлично, в среднем равна 0,2. Оценить с помощью неравенства Маркова, что число сдавших на отлично из 100 студентов потока не превысит 50. Найти приближенно значение этой вероятности по интегральной теореме Лапласа.

5. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на .

6. Вероятность положительного исхода отдельного испытания . Оценить вероятность того, что при 1000 независимых испытаний отклонение частости положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по абсолютной величине будет меньше 0,5.

7. Вероятность наличия зазубрины на металлических брусках, заготовленных для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа пригодных брусков от 800 не превысит 5%.

8. Сколько следует провести независимых испытаний, чтобы вероятность выполнения неравенства превысила 0,78, если вероятность появления данного события в отдельном испытании .

9. Всхожесть семян кукурузы в некоторых условиях равна 90%. Найти границы для частости взошедших семян из 1000 посеянных, если эти границы надо гарантировать с вероятностью не меньше 0,95.

5 Цепи Маркова

Пусть некоторая система в каждый момент времени находится в одном из k состояний: . В отдельные моменты времени система из состояния переходит в состояние (в частности, система может перейти из в ). Переходной вероятностью называют вероятность того, что система из состояния в результате следующего испытания перейдет в состояние . Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:

,

где .

Справедливо равенство

,

где – матрица перехода системы через п шагов.

Пример 1. Пусть система состоит из трех возможных состояний с матрицей перехода

.

Построить граф, соответствующий матрице .

Решение. Изобразим возможные состояния системы кружочками, а возможные переходы из состояния в состояние – стрелками (ориентированными дугами), соединяющими состояния. Числа над дугами соответствуют заданным вероятностям. Тогда граф системы представлен на рисунке 34.

1 1/2 1/2 1/3

А₁ А₂ А₃

2/3

Рисунок 34

Пример 2. Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы:

а) семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее приобрести; б) семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся ее приобрести;

в) семьи, имеющие автомашину.

Статистические обследования дали возможность оценить вероятности перехода семей из одной группы в другую на протяжении года. При этом матрица перехода оказалась такой:

.

Найти:

1. вероятность, что семья, не имеющая автомашины и не намеревающаяся ее приобрести, через 1 год приобретет машину;

2. матрицу перехода через 2 года;

3. вероятность, что семья, не имеющая машины и не собирающаяся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года;

4. вероятность, что семья, не имеющая машины, но собирающаяся ее приобрести, через 2 года приобретет машину.

Решение.

1. Искомая вероятность представляет собой элемент матрицы , который равен 0,3.

2. Найдем матрицу перехода через 2 года по формуле .

3) Вероятность, что семья, не имеющая машины и не собирающаяся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года, есть элемент матрицы , который равен 0,64.

4) Вероятность, что семья, не имеющая машины, но собирающаяся ее приобрести, через 2 года приобретет машину, есть элемент матрицы , который равен 0,15.