Задачи для самостоятельного решения

1. При тестировании студентам задается 5 вопросов, на каждый вопрос имеется три ответа, из которых нужно выбрать правильный. Студент А решил выбирать ответ наудачу. Построить полигон распределения вероятности числа вопросов, на которые студент дал верный ответ.

2. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров:

а) ровно 40 выдержат гарантийный срок;

б) более 40 телевизоров выдержат гарантийный срок службы;

в) найти наивероятнейшее число телевизоров из 46 наблюдаемых, которые выдержат гарантийный срок.

3. Английский биолог и статистик Пирсон, подбросив 12000 раз монету, получил частость выпадения герба 0,5016. Найти вероятность получения такой частости при повторном опыте.

4. В ящике 10 револьверов одной системы и одинаковых по виду, из них 4 непристрелянных. Вероятность попадания в цель из непристрелянного револьвера равна 0,3, а из пристрелянного – 0,9. Из взятого наудачу револьвера произведено 200 выстрелов по цели. Чему равна вероятность того, что число попаданий в цель:

а) заключено между 120 и 150;

б) меньше 100.

5. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

6. Найти вероятность того, что в 100 независимых испытаниях относительная частота наступления события А отклонится от вероятности 0,01 по абсолютной величине не более, чем на 0,02.

7. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение частости изделий первого сорта в них от 0,85 по абсолютной величине не превосходило 0,01?

Часть 2. Случайные величины

1 Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют переменную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблицей (таблица 3), графически или аналитически.

Таблица 3 – Закон распределения дискретной случайной величины Х

Х	х1	х2	х3	…	хп
р	р1	р2	р3	…	рп

Для закона распределения дискретной случайной величины должно выполняться условие:

.

Для описания случайной величины в целом используют числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (таблица 4).

Таблица 4 – Числовые характеристики дискретных случайных величин

Обозначение	Название	Формула
	математическое ожидание
	дисперсия	– определение – «рабочая формула»
	среднее квадратическое отклонение (СКО)

Числовые характеристики случайных величин обладают свойствами, приведенными в таблице 5. При этом Х и У – независимые случайные величины, а С – константа.

Таблица 5 – Свойства числовых характеристик случайных величин

Математическое ожидание	Дисперсия
	––

В таблице 6 приведены частные виды распределений дискретных случайных величин, имеющих наиболее важное значение в теории вероятностей и математической статистике.

Таблица 6 – Частные виды распределений дискретных случайных величин

Название вида распределения	Вероятность	Математическое ожидание	Дисперсия
Биномиальное распределение	, где (формула Бернулли)
Распределение Пуассона	, где и (формула Пуассона)
Геометрическое распределение	, где

Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Наудачу берут 3 шара. Составить закон распределения числа белых шаров среди трех взятых. Построить полигон (многоугольник) распределения вероятностей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа белых шаров среди трех взятых.

Решение. Введем дискретную случайную величину Х – число белых шаров среди трех взятых наудачу. Возможные значения этой случайной величины 0, 1, 2. Найдем соответствующие вероятности:

или ;

;

.

Запишем закон распределения Х:

Х	0	1	2
р	0,1	0,6	0,3

Проверка: .

Полигон распределения вероятностей:

р

0,6

0,3

0,1

0 1 2 х

Рисунок 8

Найдем математическое ожидание :

– приближенно

равно среднему значению случайной величины Х.

Вычислим дисперсию , используя определение:

Вычисления удобно производить с помощью таблицы:

	–1,2	–0,2	0,8
	1,44	0,04	0,64
р	0,1	0,6	0,3

Найдем дисперсию по «рабочей формуле»:

.

Х 2	0	1	4
р	0,1	0,6	0,3

(Заметим, что дисперсию удобнее вычислять по «рабочей» формуле.)

Среднее квадратическое отклонение :

.

Пример 2. Известны законы распределения случайных величин Х и У:

Х	–1	0	1		У	–2	0
р	0,2	0,3	0,5		р	0,3	0,7

1) Составить закон распределения случайной величины .

2) Найти и :

а) используя закон распределения случайной величины ;

б) пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии.

Решение. 1) Составим закон распределения случайной величины :

2Х У	–2 0,2	0 0,3	2 0,5
–2 0,3	–4 0,06	–2 0,09	0 0,15
0 0,7	–2 0,14	0 0 ,21	2 0,35

	–4	–2	0	–2	0	2
р	0,06	0,09	0,15	0,14	0,21	0,35

Упростим полученный ряд, объединив одинаковые значения случайной величины:

	–4	–2	0	2
р	0,06	0,23	0,36	0,35

Проверка: 0,06+0,23+0,36+0,35=1.

2а) Найдем математическое ожидание и дисперсию Z, используя полученный закон распределения случайной величины Z:

.

2б) Найдем математическое ожидание и дисперсию Z, пользуясь их свойствами:

(Заметим, что вычисление математического ожидания и дисперсии удобнее проводить, используя их свойства.)

Пример 3. Приживаемость саженцев яблонь составляет 80%. Наудачу выбирают 5 саженцев.

1) Составить закон распределения числа прижившихся саженцев.

2) Найти математическое ожидание и дисперсию числа прижившихся саженцев.

Решение. 1) Введем случайную величину Х – число прижившихся саженцев среди пяти отобранных. Возможные значения Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность приживаемости каждого наудачу взятого саженца постоянна и равна 0,8. Поэтому для нахождения вероятностей можно использовать схему повторных независимых испытаний. В данном случае (п невелико), вероятности вычислим по формуле Бернулли:

.

Запишем закон распределения Х:

Х	0	1	2	3	4	5
р	0,00032	0,0064	0,0512	0,2048	0,4096	0,32768

Проверка: 0,00032 + 0,0064 + 0,0512 + 0,2048 + 0,4096 + 0,32768 = 1.

Так как для нахождения была использована формула Бернулли, то данное распределение является биномиальным.

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя формулы биномиального распределения:

Пример 4. При введении вакцины против некоторого заболевания иммунитет создается в 99,9% случаев. Вакцинируют 1000 животных.

1) Составить закон распределения числа животных, которые заболеют этой болезнью после вакцинации.

2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение. 1) Введем случайную величину Х – число животных, которые заболеют после вакцинирования. Возможные значения Х: 0, 1, 2, …, 1000. Найдем соответствующие вероятности. По условию задачи число вакцинированных животных , а вероятность заболеть после вакцинации , то есть . Так как п – велико, а р – мало, то используем формулу Пуассона:

, где .

…

.

Закон распределения будет иметь вид:

Х	0	1	2	…	1000
р	0,368	0,368	0,184	…	0

Так как были вычислены по формуле Пуассона, то данное распределение является пуассоновским.

2) Для вычисления математического ожидания и дисперсии используем известные формулы:

.

Пример 5. Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет 6 очков.

1) Составить закон распределения случайной величины Х – числа подбрасываний кубика, если число подбрасываний не ограничено. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

2) Составить закон распределения случайной величины – числа подбрасываний, если кубик подбрасывают не более трех раз. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. 1) Случайная величина Х – число подбрасываний кубика до первого появления 6 очков. Возможные значения Х: 1, 2, 3, …

;

;

;

;

…

Запишем закон распределения:

Х	1	2	3	4	…		…
р					…		…

Так как образуют геометрическую прогрессию, то распределение случайной величины Х является геометрическим. Тогда

2) Случайная величина – число подбрасываний кубика до первого появления 6 очков (кубик подбрасывается не более трех раз). Возможные значения : 1, 2, 3.

;

;

.

Запишем закон распределения:

	1	2	3
р

Как видим, распределение случайной величины не относится ни к одному из известных нам видов распределений, поэтому числовые характеристики будем считать, используя закон распределения: