5.2 Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

Наивероятнейшим числом появления события А в п независимых испытаниях называется число , для которого вероятность принимает наибольшее значение. Число находят из двойного неравенства:

.

Примечание. Разность , поэтому:

1) если – дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;

2) если – целое, то существует два наивероятнейших числа , .

Пример 1. Садовод сделал осенью 6 прививок. По опыту прошлых лет известно, что после зимовки 7 из каждых 10 черенков оставались жизнеспособными. Какое число прижившихся черенков наиболее вероятно? Какова вероятность приживаемости этого числа черенков?

Решение. Используя статистическое определение вероятности, найдем вероятность приживаемости черенка:

.

Тогда . Наивероятнейшее число прижившихся черенков найдем из двойного неравенства:

Таким образом, наиболее вероятно, что из 6 черенков приживется 4 черенка.

Найдем эту наибольшую вероятность, что приживется 4 черенка из 6 привитых черенков:

.

5.3 Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Оценка отклонения относительной частоты (частости) от постоянной вероятности. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р ( ), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа , приближенно равна удвоенной функции Лапласа при :

.

Пример 1. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени. Найти границу абсолютной величины отклонения частости взошедших семян от вероятности , если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью .

Решение.

	Используем формулу оценки отклонения относительной частоты от постоянной вероятности: .
=?	Имеем:

.

По условию

,

тогда

=0,995,

По таблице функции Лапласа .

Следовательно,

.

Таким образом,

.

Задачи для аудиторного решения

1. В цехе работает 4 станка, причем вероятность остановки в течение часа для каждого из них одна и та же и равна 0,2.

1) Построить полигон распределения вероятностей числа станков, проработавших без остановки в течение одного часа.

2) Найти наивероятнейшее число станков, проработавших безотказно в течение часа.

3) Найти наивероятнейшее число станков, отказавших в течение часа.

2. Найти значение выражения:

а) ;

б) ;

в) .

3. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) ровно 10 раз;

б) от 50 до 60 раз;

в) не более 70 раз;

г) не менее 30 раз.

4. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок:

а) ровно две;

б) менее двух;

в) более двух;

г) хотя бы одну.

5. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм³ воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

6. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,1. Найти вероятность, что среди 400 деталей относительная частота появления нестандартной детали отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03.

7. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью, равной 0,6, можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности 0,5 окажется по абсолютной величине не более чем 0,01.

8. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2. Найти, какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью, равной 0,9128 при 5000 испытаниях.