Задачи для самостоятельного решения

1. Из колоды 36 карт наудачу достают 3 карты. Образуют ли полную группу следующие события:

а) А – все три туза,

В – все три дамы;

б) С – только один туз,

D – по крайней мере один туз;

в) Е – все три туза,

F – не более двух тузов?

2. Куб, грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет:

а) три окрашенных грани;

б) две окрашенных грани;

в) одну окрашенную грань.

3. На полке случайным образом расставляют 7 книг, среди которых 3 задачника. Найти вероятность того, что эти три книги окажутся рядом.

4. Исследователь зафиксировал результаты полевого опыта с двадцати делянок и внес результаты в ЭВМ. При распечатке ведомости результаты «смешались». Найти вероятность того, что при этом каждой делянке соответствует верный результат.

5. В корзине 25 клубней картофеля, 5 из них имеют механические повреждения. Случайно отбирают 4 клубня. Какова вероятность того, что все клубни не поврежденные?

6. Некто купил карту спортлото и отметил в ней 6 из имеющихся 49 номеров, после чего в тираже разыгрываются 6 «выигравших» номеров из 49. Найти вероятности событий:

А – верно угаданы 3 номера из 6;

В – верно угаданы все 6 номеров.

Что означают на практике полученные результаты?

7. В урне 10 белых, 5 красных, 7 синих шаров. Наудачу берут 3 шара. Какова вероятность, что все шары будут:

а) одного цвета;

б) разного цвета?

8. Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрички. Какова вероятность того, что все они:

а) зайдут в один вагон;

б) зайдут в вагон №3;

в) разместятся в разных вагонах?

9. Двое друзей, А и В, стоят в очереди из 8 человек. Найти вероятность того, что в очереди:

а) А и В стоят рядом;

б) между А и В стоят 2 человека.

10. На некотором предприятии в среднем 1,6% изделий не удовлетворяют стандарту. Чему можно принять равной вероятность того, что наудачу взятое изделие будет:

а) бракованным;

б) стандартным?

Какое количество годных изделий в среднем будет содержаться в каждой партии объемом 500 штук?

11. Всхожесть семян дикой яблони равна 60%. Сколько потребуется высеять семян, чтобы получить 120 ростков?

12. На отрезок АВ, где , случайным образом бросается точка М. Какова вероятность, что расстояние от точки М до одного из концов отрезка меньше 5?

13. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное указанными окружностями?

14. * Найти вероятность того, что 30 студентов одной группы родились:

а) в разные дни года (в году 365 дней);

б) в один день года;

в) 8 марта;

г) в разные месяцы года;

д) в сентябре;

е) в разные дни сентября.

3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

Таблица 1 – Теоремы сложения и умножения вероятностей

, то есть – сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример 1. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, равна 0,9; второй – 0,7; третий – 0,5. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут:

а) все три стрелка;

б) только один стрелок;

в) только два стрелка;

г) хотя бы один стрелок.

Решение. Введем события – первый стрелок попал в мишень,

– второй стрелок попал в мишень,

– третий стрелок попал в мишень.

а) Событие А – все три стрелка попали в мишень:

.

независимые события

.

б) Событие В – попал только один стрелок:

.

слагаемые – несовместные события

в) Событие С – попали только два стрелка:

.

г) Событие D – хотя бы один стрелок попал в мишень.

совместные события

или

несовместные события

В этом случае нахождение становится громоздким. Поэтому удобнее D представить как сумму несовместных событий А, В, С (см. пункты а, б, в):

несовместные события

.

Следует отметить, что этот способ удобен лишь в случае, когда вероятности событий А, В и С уже известны.

В общем случае удобнее решать через противоположное событие. Имеем D – попал хотя бы один стрелок, тогда – ни один стрелок не попал в мишень.

.

Пример 2. В корзине 12 яблок, из них 5 поражены болезнью в скрытой форме. Наудачу берут последовательно 3 яблока. Какова вероятность, что все 3 яблока окажутся больными, если после проверки яблоки в корзину не возвращались?

Решение. 1 способ. Введем элементарные события – первое взятое яблоко оказалось больным, – второе взятое яблоко оказалось больным, – третье взятое яблоко оказалось больным. Событие А – все три взятых яблока оказались больными:

.

В данной ситуации события , , – зависимые, так как яблоки в корзину не возвращались. Тогда

.

2 способ. Эту задачу можно решить по классическому определению вероятности, используя комбинаторику:

.

Пример 3. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков.

Решение. Введем обозначение событий:

А – ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков,

– на выпавшей грани i-ой кости ( ) не появится 6 очков.

Интересующее нас событие А состоит из совмещений событий , ,…, , то есть . Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна . События независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

.

По условию . Следовательно, . Отсюда, учитывая, что , найдем . Так как п – натуральное число, то этому неравенству удовлетворяют значения . Если бросить не менее семи игральных костей, то вероятность, что ни на одной из выпавших граней не выпадет шесть очков, будет менее 0,3.