3.2 Показательное распределение

Пример 1. Задана функция плотности непрерывной случайной величины Х:

1) Найти параметр С. Определить вид распределения непрерывной случайной величины Х. Построить график функции плотности .

2) Найти функцию распределения и построить ее график.

3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины Х.

4) Найти вероятность, что непрерывная случайная величина Х попадет в интервал .

Решение. 1) Так как функция плотности имеет вид

то заданная непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с . Тогда параметр и функция плотности

Построим схематический график этой функции (рисунок 27).

у

0 3 х

Рисунок 27

2) Функция распределения имеет вид

В нашем случае

График изображен на рисунке 28.

у

1

0 х

Рисунок 28

3) Для показательного закона математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

.

У нас , тогда

.

4) Для нахождения вероятности попадания случайной величины Х в интервал используем формулу

.

Вероятность попадания в интервал (0; 3) равна:

.

Пример 2. Время безотказной работы элемента имеет показательное распределение с , где t – время в часах).

1) Найти среднее число отказов элемента за 1 час.

2) Найти среднее время безотказной работы элемента.

3) Найти вероятность того, что за время длительностью часов:

а) элемент откажет;

б) элемент не откажет.

Решение. 1) Введем непрерывную случайную величину Т – время между двумя последовательными отказами (то есть время безотказной работы элемента). Доказано, что Т имеет показательное распределение, где – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени). По виду функции распределения имеем . Таким образом, за 1 час имеем 0,01 отказов (то есть один отказ за 100 часов работы).

2) Среднее значение случайной величины найдем через математическое ожидание:

(часов).

То есть среднее время безотказной работы элемента 100 часов.

3а) Событие, что элемент откажет в течение 50 часов, означает, что время безотказной работы элемента . Тогда искомую вероятность найдем по формуле .

3б) События «элемент откажет» и «элемент не откажет» – противоположные, поэтому вероятность того, что элемент не откажет в течение 50 часов, равна