Задачи для аудиторного решения

1. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами . Записать функцию плотности и построить ее схематический график. Найти вероятность, что случайная величина будет отклоняться от математического ожидания:

а) не более, чем на ;

б) не более, чем на ;

в) не более, чем на .

2. Диаметр стволов деревьев на опытной делянке заключен в интервале от 10 до 13 см. Считая диаметр стволов нормально распределенной случайной величиной, найти:

1) процент деревьев, диаметр которых не превышает 11см;

2) процент деревьев, диаметр которых отличается от среднего не более, чем на 1 см:

3) величину, которую превзойдет диаметр 70% деревьев.

3. Средний вес зерна равен 0,2 г, среднее квадратическое отклонение 0,05 г. С вероятностью 0,95 определить границы, в которых будет заключен вес 100 случайно взятых зерен.

4. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько повысился процент бракованных деталей?

5. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение в и . Найти вероятности следующих событий:

а) при пяти независимых испытаниях непрерывная случайная величина Х не менее 4 раз попадет в интервал ;

б) при 50 независимых испытаниях непрерывная случайная величина Х хотя бы один раз попадет в интервал ;

в) при 50 независимых испытаниях непрерывная случайная величина Х не менее 30 раз попадет в интервал .

Задачи для самостоятельного решения

1. Запишите функцию распределения и функцию плотности для нормально распределенной случайной величины Х, если , . Построить схематически графики этих функций.

2. Случайные отклонения размера детали от номинала распределены нормально с функцией плотности распределения вероятностей .

Определить:

а) интервал, в котором находится размер подавляющего числа деталей;

б) границы размера детали с гарантией 90%.

3. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равно 20 мм, среднее квадратическое отклонение – 3 мм. Найти:

а) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет не меньше 17 и не больше 26 мм;

б) вероятность, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на 1,5 мм;

в) найти величину А, если 60% деталей имеют диаметр меньше, чем А.

4. Вес одного яблока в подавляющем числе случаев находится в пределах от 120 до 150 г. Случайным образом отбирается 200 яблок. Определить:

а) средний вес 200 яблок;

б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение веса 200 яблок;

в) вероятность, что вес яблок окажется не менее 25 кг;

г) наибольшее значение, которое не превзойдет вес 200 яблок с вероятностью 0,98.

5. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, их средняя масса равна 0,06 кг. Найти среднее квадратическое отклонение, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

6. На рисунке 26 изображен график функции плотности нормального распределения. Площадь заштрихованной части равна 0,4.

1) Какова вероятность, что непрерывная случайная величина Х попадет в интервал .

2) Какова вероятность, что в 100 независимых испытаниях непрерывная случайная величина Х попадет в интервал не менее 50 раз.

у

0 3 7 10 х

Рисунок 26