- •3. Пределы функций
- •Замечательные пределы. Примеры решений
- •4. Производные функций Как найти производную? Примеры решений
- •Производная сложной функции. Примеры решений
- •Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Сложные производные
- •Логарифмическая производная
- •Производная степенно-показательной функции
- •Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производная параметрически заданной функции
- •Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Дифференциал функции одной переменной
- •Вторая производная
- •4. 2.Частные производные. Примеры решений
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Абсолютная и относительная погрешность вычислений
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Частные производные функции трёх переменных
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •5. Интегралы
- •5.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •5.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •5.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •5.1.3.Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5.1.4. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложение числителя
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Метод выделения полного квадрата
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
- •5.1.5. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •5.1.6. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
- •Методом сведения интеграла к самому себе
- •Интегрирование сложных дробей
- •Интеграл от неразложимого многочлена 2-ой степени в степени
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Интеграл от корня из дроби
- •5.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •5.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •5.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Уважаемый студент, распечатай и сохрани:
- •5.2.3. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
- •5.2.3. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Теперь немного о геометрических иллюзиях.
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •5.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •5.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •5.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •5.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •5.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
- •5.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •5.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •5.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •5.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •5.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •5.5. Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона?
- •Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
- •Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?
5.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
Очень интересный случай. Несобственный интеграл первого рода с бесконечными пределами интегрирования имеет следующий вид:
Как решить интеграл с бесконечными пределами? Данный интеграл нужно представить в виде суммы двух несобственных интегралов:
Примечание: вместо ноля может быть любое число, но ноль обычно удобнее всего.
Если оба интеграла правой части сходятся, то сходится и интеграл
.
Если хотя бы один из интегралов правой части расходится, то расходится и интеграл
Пример 9
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Я специально подобрал примитивный пример, чтобы проиллюстрировать другой важный момент применения метода.
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Согласно правилу, интеграл следует представить в виде суммы интегралов:
Интеграл будет сходиться, если будут сходиться оба интеграла правой части. Проверяем:
– сходится.
– сходится.
Оба интеграла сходятся, значит, сходится и весь интеграл:
Теперь обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной. В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричными интервалами интегрирования) чётностью пользоваться МОЖНО. Аналогично определенному интегралу, интервал интегрирования можно споловинить, а результат – удвоить.
То есть, решение допустимо записать короче:
Почему такое возможно?
График подынтегральной чётной функции симметричен относительно оси OY. Следовательно, если половина площади конечна (интеграл сходится) – то симметричная половина площади тоже конечна. Если половина площади бесконечна (интеграл расходится), следовательно, симметричная половина тоже будет расходиться.
Пример 10
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Подынтегральная функция непрерывна на всей числовой прямой. Согласно правилу, интеграл нужно представить в виде суммы двух интегралов:
Проверяем сходимость интегралов правой части:
Первый интеграл расходится. Знак «минус» говорит о том, что бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси абсцисс.
Не нужно проверять сходимость второго интеграла правой части, поскольку для того, чтобы интеграл
сходился, необходимо чтобы сходились оба интеграла правой части.
Ответ: несобственный интеграл
расходится.
А сейчас очень важный момент: подынтегральная функция
является нечётной.
В несобственных интегралах с бесконечными пределами (т. е. симметричными интервалами интегрирования) нечётностью пользоваться НЕ СЛЕДУЕТ!!!
В этом состоит отличие от определенного интеграла. Там всегда можно смело записать:
,
а здесь так поступать – не следует. Почему? Потому что в ряде случаев, как, например, в рассмотренном примере, получится нонсенс. Если считать, что
,
то интеграл будет сходящимся (поскольку получено конечное число), но в то же время его часть:
– расходится (как мы только что показали в решении). Тонкость же состоит в том, что несобственный интеграл
от нечетной функции , в принципе, может равняться нулю, но нельзя сразу записывать, что
.
Всегда представляем интеграл в виде двух интегралов и выполняем проверку на сходимость по стандартному алгоритму.
Как раз этой тонкости посвящен следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 11
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Полное решение и ответ в конце урока.