Интегрирование сложных дробей
Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.
Продолжаем тему корней
Пример 9
Найти
неопределенный интеграл
В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.
Решаем:
Замена
тут проста:
Смотрим
на жизнь после замены:
(1)
После подстановки приводим к общему
знаменателю слагаемые под корнем.
(2)
Выносим 
из-под
корня.
(3) Числитель и знаменатель
сокращаем на
.
Заодно под корнем я переставил слагаемые
в удобном порядке. При определенном
опыте шаги (1), (2) можно пропускать,
выполняя прокомментированные действия
устно.
(4) Полученный интеграл, как вы
помните из урока Интегрирование
некоторых дробей,
решается методом
выделения полного квадрата.
Выделяем полный квадрат.
(5)
Интегрированием получаем заурядный
«длинный» логарифм.
(6)
Проводим обратную замену. Если
изначально 
,
то обратно: 
.
(7)
Заключительное действие направлено на
прическу результата: под корнем снова
приводим слагаемые к общему знаменателю
и выносим из-под корня
.
Пример 10
Найти
неопределенный интеграл
Это
пример для самостоятельного решения.
Здесь к одинокому «иксу» добавлена
константа, и замена почти такая
же:
Единственное,
что нужно дополнительно сделать –
выразить «икс» из проводимой замены: 
Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:
Пример 11
Найти
неопределенный интеграл
Пример 12
Найти
неопределенный интеграл
Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, метод решения которого рассматривался на урокеИнтегралы от иррациональных функций.
Интеграл от неразложимого многочлена 2-ой степени в степени
(многочлен в знаменателе)
Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.
Пример 13
Найти
неопределенный интеграл
В
знаменателе подынтегральной функции
находится неразложимый
на множители квадратный
двучлен. Подчеркиваю, что неразложимость
на множители является существенной
особенностью. Если многочлен раскладывается
на множители, то всё намного понятнее,
например:
–
и далее применяется стандартный метод
неопределенных коэффициентов.
Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.
Решение
начинается с искусственного
преобразования:
Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.
Полученный
интеграл берётся по частям:
Готово.
Для
интеграла вида 
(
–
натуральное число) выведена рекуррентнаяформула
понижения степени:
,
где 
–
интеграл степенью ниже.
Убедимся
в справедливости данной формулы для
прорешанного интеграла
.
В
данном случае: 
, 
,
используем формулу:
Как видите, ответы совпадают.
Пример 14
Найти
неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.
Если
под степенью находится неразложимый
на множители квадратный
трехчлен, то решение сводится к двучлену
путем выделения полного квадрата,
например:
Далее
следует «безболезненная» линейная
замена 
и
получается знакомый интеграл 
.
Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу, поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции, пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.