- •3. Пределы функций
- •Замечательные пределы. Примеры решений
- •4. Производные функций Как найти производную? Примеры решений
- •Производная сложной функции. Примеры решений
- •Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Сложные производные
- •Логарифмическая производная
- •Производная степенно-показательной функции
- •Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производная параметрически заданной функции
- •Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Дифференциал функции одной переменной
- •Вторая производная
- •4. 2.Частные производные. Примеры решений
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Абсолютная и относительная погрешность вычислений
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Частные производные функции трёх переменных
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •5. Интегралы
- •5.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •5.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •5.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •5.1.3.Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5.1.4. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложение числителя
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Метод выделения полного квадрата
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
- •5.1.5. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •5.1.6. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
- •Методом сведения интеграла к самому себе
- •Интегрирование сложных дробей
- •Интеграл от неразложимого многочлена 2-ой степени в степени
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Интеграл от корня из дроби
- •5.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •5.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •5.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Уважаемый студент, распечатай и сохрани:
- •5.2.3. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
- •5.2.3. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Теперь немного о геометрических иллюзиях.
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •5.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •5.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •5.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •5.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •5.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
- •5.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •5.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •5.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •5.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •5.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •5.5. Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона?
- •Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
- •Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?
Частные производные второго порядка функции трёх переменных
Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных. Поэтому, если вы хорошо проработали урок Частные производные функции двух переменных, то будет всё очень просто.
Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или в другой записи: .
Частных производных второго порядка девять штук.
Первая группа – это вторые производные по тем же переменным: или – вторая производная по «икс»; или – вторая производная по «игрек»; или – вторая производная по «зет».
Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть: или – смешанная производная «икс по игрек»; или – смешанная производная «игрек по икс»; или – смешанная производная «икс по зет»; или – смешанная производная «зет по икс»; или – смешанная производная «игрек по зет»; или – смешанная производная «зет по игрек».
Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка:
Примечание: строго говоря, это не всегда так
На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух: – «у два штриха дважды по игрек»; – «дэ два у по дэ зет квадрат»; – «у два штриха по икс по зет»; – «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».
Примеры на нахождение частных производных 2-го прядка для функции трёх переменных на практике встречаются реже. Обычно они не очень сложные, но довольно большие по объему.
Пример 10
Найти все частные производные первого и второго порядка функции трёх переменных
Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:
Частные производные второго порядка рекомендую начинать искать со смешанных производных, поскольку это позволит выяснить, а правильно ли вообще найдены производные первого порядка.
Берём найденную производную и дифференцируем её по «игрек»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»:
Равенство выполнено. Гуд.
Разбираемся со второй парой смешанных производных. Берём найденную производную и дифференцируем её по «зет»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»: – всё путём.
Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных: Нормалёк.
После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка.
Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание:
Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше таки потратить время и найти все производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике.
Пример 11
Найти все частные производные первого и второго порядка функции трёх переменных
Это пример для самостоятельного решения.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение: Найдем частные производные первого порядка. Составим полный дифференциал первого порядка:
Пример 6: Решение: Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Пример 7: Решение: Вычислим частные производные первого порядка в точке :
Пример 9: Решение: Найдем частные производные первого порядка:
Пример 11: Решение: Найдем частные производные первого порядка: Найдем частные производные второго порядка: