Методом сведения интеграла к самому себе
Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:
Пример 5
Найти
неопределенный интеграл
Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.
Обозначим
рассматриваемый интеграл латинской
буквой 
и
начнем решение:
Интегрируем
по частям:
(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.
(2)
Почленно делим подынтегральную функцию.
Возможно, не всем понятно, распишу
подробнее:
(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).
Теперь
смотрим на самое начало решения:
И
на концовку:
Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!
Приравниваем
начало и конец:
Переносим
в
левую часть со сменой знака:
А
двойку сносим в правую часть. В
результате:
Или: 
Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:
Примечание: Более
строго заключительный этап решения
выглядит так:
Таким
образом:
Константу 
можно
переобозначить через
.
Почему можно переобозначить? Потому
что 
всё
равно принимает любые значения,
и в этом смысле между константами
и
нет
никакой разницы.
В
результате:
Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.
Пример 6
Найти
неопределенный интеграл
Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!
Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.
Например,
рассмотрим интеграл 
.
Всё, что нужно сделать – предварительновыделить
полный квадрат:
.
Далее
проводится линейная замена, которая
обходится «без всяких последствий»:
,
в результате чего получается интеграл 
.
Нечто знакомое, правда?
Или
такой пример, с квадратным
двучленом: 
Выделяем
полный квадрат: 
И,
после линейной замены 
,
получаем интеграл 
,
который также решается по уже рассмотренному
алгоритму.
Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе: – интеграл от экспоненты, умноженной на синус; – интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.
В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:
Пример 7
Найти
неопределенный интеграл
Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.
Дважды
интегрируем по частям и сводим интеграл
к себе:
В
результате двукратного интегрирования
по частям интеграл свёлся к самому себе.
Приравниваем начало и концовку решения:
Переносим
в
левую часть со сменой знака и выражаем
наш интеграл:
Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.
Теперь
вернемся к началу примера, а точнее –
к интегрированию по частям:
За
мы
обозначили экспоненту. Возникает вопрос,
именно экспоненту всегда нужно обозначать
за
?
Не обязательно. На самом деле в
рассмотренном интегралепринципиально без
разницы, что
обозначать за
,
можно было пойти другим путём:
Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).
То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.
Пример 8
Найти
неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.
И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить интегрированием!
Примеры
были рассмотрены не самые сложные. На
практике чаще встречаются интегралы,
где константа есть и в показателе
экспоненты и в аргументе тригонометрической
функции, например: 
.
Попутаться в подобном интеграле придется
многим, частенько путаюсь и я сам. Дело
в том, что в решении велика вероятность
появления дробей, и очень просто
что-нибудь по невнимательности потерять.
Кроме того, велика вероятность ошибки
в знаках, обратите внимание, что в
показателе экспоненты есть знак «минус»,
и это вносит дополнительную трудность.
На
завершающем этапе часто получается
примерно следующее:
Даже
в конце решения следует быть предельно
внимательным и грамотно разобраться с
дробями:
