5.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
Данная статья содержит дополнительные материалы по методам решения определенных и несобственных интегралов. Предполагается, что читатель владеет средними или высокими навыки интегрирования. Если это не так, пожалуйста, начните с азов, предназначенных для чайников: Неопределенный интеграл, примеры решений.
Где неопределенный интеграл – там неподалёку и Определенный интеграл, с формулой Ньютона-Лейбница вы тоже должны быть знакомы не понаслышке. Кроме того, уметь решать простейшие задачи на вычисление площади плоской фигуры.
Урок предназначен для тех, кто хочет научиться быстрее и эффективнее решать определенные и несобственные интегралы. Сначала я рассмотрю особенности интегрирования четной и нечетной функции по симметричному относительно нуля интервалу. Затем мы разберем задачу о нахождении площади круга с помощью определенного интеграла. Эта задача важна еще и тем, что знакомит вас с распространенным приемом интегрирования определенного интеграла – тригонометрической подстановкой. Она еще нигде не рассматривалась – новый материал!
Второй раздел предназначен для читателей, знакомых с несобственными интегралами. Аналогично, рассмотрим несобственные интегралы от четных, нечетных функций по симметричному интервалу. В том числе более редкие типы несобственных интегралов, которые не вошли в основную статью: когда нижний предел стремится к «минус бесконечности», когда оба предела стремятся к бесконечности, когда в обоих концах отрезка интегрирования функция терпит бесконечный разрыв (это уже интеграл второго рода). И совсем редкий несобственный интеграл – с точкой разрыва на отрезке интегрирования.
5.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
Рассмотрим определенный интеграл вида
.
Легко заметить, что отрезок интегрирования [-c; c] симметричен относительно нуля.
Если подынтегральная функция является чётной, то интеграл
можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить:
.
Многие догадались, почему так, тем не менее, рассмотрим конкретный пример с чертежом:
Пример 1
Вычислить определенный интеграл
О
чётности функции много говорилось в
методическом материале Графики
и свойства элементарных функций.
Повторим один раз: функция является
чётной, если для неё выполняется равенство
.
Как проверить функцию на чётность? Нужно вместо«икс» подставить .
В
данном случае:
и
,
значит, данная функция является чётной.
Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке [-2; 2] наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:
А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….
Любая
чётная функция, в частности
,
симметрична относительно оси OY:
Определенный интеграл
численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а, значит, и симметричности её графика относительно оси OY, достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые же половинки! Именно поэтому справедливо действие
Аналогичная история происходит с любой чётной функцией по симметричному относительно нуля отрезку:
Некоторые
скажут: «Да зачем это всё нужно, можно
ведь и так вычислить определенный
интеграл». Можно. Давайте вычислим:
Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. Кстати, ненулевой процент студентов допустит ошибку в знаках. Гораздо проще и приятнее подставить ноль. Замечу, что это еще был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже. Кроме того, рассматриваемый прием часто применяется при вычислении двойных интегралов, тройных интегралов, где вычислений и так хватает. Короткий разминочный пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Вычислить определенный интеграл
Полное решение и ответ в конце урока.
Обратите внимание, что когда вам предложено просто вычислить определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Иллюстрация к Примеру 1 дана только для того, чтобы было понятно правило. Как раз данному моменту посвящена следующая простая задачка:
Пример 3
Вычислить определенный интеграл
.
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
,
и осью OX
на интервале
.
Это две разные задачи! Об этом уже говорилось в статье Как вычислить площадь плоской фигуры? Сначала разберемся с первым пунктом: