- •3. Пределы функций
- •Замечательные пределы. Примеры решений
- •4. Производные функций Как найти производную? Примеры решений
- •Производная сложной функции. Примеры решений
- •Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Сложные производные
- •Логарифмическая производная
- •Производная степенно-показательной функции
- •Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производная параметрически заданной функции
- •Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Дифференциал функции одной переменной
- •Вторая производная
- •4. 2.Частные производные. Примеры решений
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Абсолютная и относительная погрешность вычислений
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Частные производные функции трёх переменных
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •5. Интегралы
- •5.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •5.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •5.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •5.1.3.Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5.1.4. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложение числителя
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Метод выделения полного квадрата
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
- •5.1.5. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •5.1.6. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
- •Методом сведения интеграла к самому себе
- •Интегрирование сложных дробей
- •Интеграл от неразложимого многочлена 2-ой степени в степени
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Интеграл от корня из дроби
- •5.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •5.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •5.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Уважаемый студент, распечатай и сохрани:
- •5.2.3. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
- •5.2.3. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Теперь немного о геометрических иллюзиях.
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •5.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •5.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •5.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •5.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •5.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
- •5.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •5.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •5.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •5.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •5.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •5.5. Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона?
- •Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
- •Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?
Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
Перейдем к рассмотрению случая, когда старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя.
Пример 8
Найти неопределенный интеграл.
Совершенно очевидно, что данная дробь является неправильной:
Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функций – этоделение числителя на знаменатель. Да-да, делить будем столбиком, как самые обычные числа в школе.
Напоминаю алгоритм. Сначала рисуем «заготовку» для деления:
ВСЕ недостающие степени (и (или) свободные члены) без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами.
Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножить , чтобы получить ? Очевидно, что на :
Далее умножаем сначала на , потом – на , потом – на , потом – на 0 и записываем результаты слева:
Проводим черточку и производим вычитание (из верха вычитаем низ): Старшая степень остатка равна двум, старшая степень делителя – больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то то алгоритм деления увеличился бы на один шаг.
Итак, наше решение принимает следующий вид:
Делим числитель на знаменатель:
(1) Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое – интегрируется совсем просто, а второе – правильная дробь, которую мы решать уже умеем.
После деления всегда желательно выполнять проверку. В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателю , и в результате получится в точности исходная неправильная дробь
(2) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители
Дальше всё идет по накатанной схеме:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Готово.
И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендую всем!
Пример 9
Найти неопределенный интеграл.
Только
что обратил внимание, что во всех примерах
урока в ходе решения систем у нас
получались «хорошие» целые коэффициенты
.
По той причине, что почти все интегралы
я взял из сборника Рябушко. На практике
же, когда
автор методички придумает какой-нибудь
корявый интеграл, часто
будут появляться разные нехорошести.
Таким
образом, если в ходе решения интеграла
от дробно-рациональной функции у Вас
получаются дробные значения коэффициентов
,
то в этом нет ничего страшного, ситуация
даже обыденна.
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Комментарий: в правой части у нас нет слагаемого с , поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.
Пример 4: Решение:
Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь Старшая степень числителя: 6 Старшая степень знаменателя: 8 , значит, дробь является правильной.
Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители. Множитель разложить нельзя, а вот – можно:
Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. В данном случае, разложение имеет следующий вид:
Пример 6: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 7: Решение:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Пример 9: Решение:
(1) Здесь неправильная дробь, поскольку старшие степени числителя и знаменателя равны: 3 = 3. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе.
(2)-(3) Теперь можно разделить на знаменатель , но делать этого… я не буду. Можно поступить хитрее. Используем прием, который рассмотрен в первом параграфе урока Интегрирование некоторых дробей.
(4) От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного подсократил разложение, надеюсь, всем понятно, что
Далее накатанная колея…
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: