
- •3. Пределы функций
- •Замечательные пределы. Примеры решений
- •4. Производные функций Как найти производную? Примеры решений
- •Производная сложной функции. Примеры решений
- •Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции
- •Сложные производные
- •Логарифмическая производная
- •Производная степенно-показательной функции
- •Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции
- •Производная функции, заданной неявно
- •Производная параметрически заданной функции
- •Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений
- •Производная функции в точке
- •Уравнение касательной к графику функции
- •Дифференциал функции одной переменной
- •Вторая производная
- •4. 2.Частные производные. Примеры решений
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной
- •Абсолютная и относительная погрешность вычислений
- •Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных
- •Частные производные функции трёх переменных
- •Частные производные второго порядка функции трёх переменных
- •5. Интегралы
- •5.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
- •5.1.1. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
- •Подведение функции под знак дифференциала
- •Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •5.1.2. Интегрирование по частям. Примеры решений
- •Интегралы от логарифмов
- •Интегралы от экспоненты, умноженной на многочлен
- •Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
- •5.1.3.Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
- •Использование тригонометрических формул
- •Понижение степени подынтегральной функции
- •Метод замены переменной
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5.1.4. Интегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
- •Метод разложение числителя
- •Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей
- •Метод выделения полного квадрата
- •Подведение числителя под знак дифференциала
- •Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов
- •Интегрирование правильной дробно-рациональной функции
- •Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции
- •5.1.5. Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений
- •Интегралы от корней. Типовые методы и приемы решения
- •Интегрирование биномиальных интегралов
- •5.1.6. Сложные интегралы
- •Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
- •Методом сведения интеграла к самому себе
- •Интегрирование сложных дробей
- •Интеграл от неразложимого многочлена 2-ой степени в степени
- •Интегрирование сложных тригонометрических функций
- •Интеграл от корня из дроби
- •5.2. Определенный интеграл. Примеры решений
- •5.2.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •5.2.2. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •Уважаемый студент, распечатай и сохрани:
- •5.2.3. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
- •5.2.3. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •Как вычислить объем тела вращения?
- •Теперь немного о геометрических иллюзиях.
- •Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси
- •5.3. Несобственные интегралы. Примеры решений
- •5.3.1. Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •5.3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •5.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов
- •5.4.1. Метод решения определенного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
- •Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
- •5.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку
- •5.4.3. Метод решения несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом
- •5.4.4. Метод решения несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования
- •5.4.5. Метод решения несобственного интеграла второго рода с точками разрыва на обоих концах отрезка
- •5.4.6. Метод решения несобственного интеграла с точкой разрыва на отрезке интегрирования
- •5.5. Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона?
- •Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?
- •Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?
1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
Определенный интеграл получился отрицательным и так бывает!
Теперь найдем площадь плоской фигуры. Вот здесь без чертежа обойтись трудно:
На
отрезке
график функции расположен ниже оси
OX,
поэтому:
Площадь не может быть отрицательной, именно поэтому в формуле вычисления площади добавляют минус (см. также Пример 3 урока Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры).
Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять споловинили отрезок, и удвоили интеграл.
Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла Тригонометрическая подстановка
Это очень важная задача, поскольку будет рассмотрен типовой интеграл и приём решения, который неоднократно встретится в будущем.
Но
сначала небольшое напоминание по
уравнению окружности. Уравнение вида
задаёт окружность с центром в точке
радиуса
.
В частности, уравнение
задаёт окружность радиуса
с центром в начале координат.
Пример 4
Вычислить
площадь круга, ограниченного окружностью,
заданной уравнением
– это окружность
с центром в начале координат и радиусом
.
Выполним чертёж:
Сначала
вычислим площадь круга с помощью
известной школьной формулы. Если радиус
круга
,
то его площадь равна:
Для
того чтобы вычислить площадь круга с
помощью определенного интеграла,
необходимо из уравнения окружности
выразить
функцию «игрек» в явном виде:
Верхняя
полуокружность задается уравнением
Нижняя
полуокружность задается уравнением
Особые параноики, как я, могут подставить несколько точек окружности в эти уравнения, и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.
Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь сектора в 1-ой четверти (заштрихован синим цветом), затем результат умножить на 4.
Таким
образом:
Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в примере 6 урока Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены:
Проведём
замену:
Почему
именно такая замена, очень скоро станет
понятно, а пока найдем дифференциал:
Выясним,
во что превратится корень, я распишу
очень подробно:
Если
в ходе решения вы не сможете догадаться
применить формулу наподобие
,
то, увы, схлопочете от преподавателя
«приходите в следующий раз».
После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаю на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.
Осталось
вычислить новые пределы интегрирования:
Если
,
то
Новый
нижний предел интегрирования:
Новый
верхний предел интегрирования:
Таким
образом:
Площадь
сектора необходимо умножить на 4,
следовательно, площадь всей окружности:
Вероятно,
у некоторых возник вопрос, зачем вообще
мучиться с интегралом, если есть короткая
школьная формула
?
А фишка состоит в том, что возможность
очень точно вычислить площадь круга
появилась только с развитием математического
анализа (хотя уже в древности площадь
круга рассчитывали с приличной точностью).
Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула !
Следует
отметить, что к решению данной задачи
можно было применить и другой подход –
вычислить площадь верхнего полукруга
с помощью интеграла
,
а затем удвоить результат. Но в силу
чётности подынтегральной функции
решение элементарно сводится к оптимальной
версии:
Еще раз подчёркиваю важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике ни раз и ни два. Поэтому для закрепления материала чуть более сложное задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Вычислить
определенный интеграл
По
условию требуется вычислить определенный
интеграл, поэтому чертеж выполнять не
нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом
в замене
.
Если возникнут трудности с интегралом
после замены, вернитесь к уроку Интегралы
от тригонометрических функций.
Будьте внимательны! Полное решение и
ответ в конце урока.