4. Критерий согласия Колмогорова

В качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями А.Н. Колмогоровым предложена величина максимальное значение модуля разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

или, если вместо функций распределения использовать накопленные частоты, то

(С)

где накопленная эмпирическая частота; накопленная теоретическая частота.

В качестве критериальной величины используется

Величина случайная с плотностю , задавается таблично.

Вероятность может изменяться от 0 до 1. При происходит полное совпадение частот (эмпирических и теоретических), при полное расхождение. Если принимает значения до 0,3, то .

Если сравнительно велико, практически больше 0.05, то гипотеза принимается. Если , то гипотезу следует отвергнуть, как малоправдоподобную.

Замечание. Критерий Колмогорова применяется только в том случае, когда параметры предполагаемого закона распределения известны; если они находятся из опытных данных, то критерий дает заведомо завышенное значение

Приближенная проверка

В практике часто используется приближенная проверка на нормальность, в основе которой лежит более простые рекомендации, использующие значения числовых характеристик и свойства нормального распределения.

Приближенная проверка с использованием .

Известно, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то ее значения удовлетворяют следующим условиям:

промежуток содержит примерно 1\4 часть всей совокупности значений;

промежуток содержит примерно 1\2 часть;

промежуток содержит примерно 3\4 часть;

промежуток содержит примерно 0,99 всех значений.

Если эти соотношения выполняются одновременно для данной эмпирической совокупности и вычисленных то гипотеза о нормальном законе распределения может быть принята.

Приближенная проверка с использованием и

Если эмпирическое распределение подчиняется нормальному закону распределения, то для асимметрии и эксцесса необходимо выполнение следующих условий:

где несмещенная оценка для показателя асимметрии,

где несмещенная оценка для показателя эксцесса,

среднее квадратическое отклонение для показателя асимметрии,

среднее квадратическое отклонение для показателя эксцесса.

Для использования этой рекомендации необходимо вычислить по эмпирическим данным соответствующие параметры и проверить выполнимость указанных соотношений.

Приближенный графический метод

(метод спрямляемых диаграмм)

Этот метод основан на понятии квантили. Квантили -это такие значения признака, которые делят все единицы распределения на равные численности. Квартили, квинтили, децили – частные случаи квантилей (кварта – 4, квинта – 5, деци – 10). Например, квартили делят распределение признака на четыре равные части: . Ниже первого квартиля лежит ¼ часть хначений 3/4 элементов совокупности имеют значения превышающие Второй квартиль делит распределение пополам и совпадает с медианой. Между медианой и третьим квартилем располагается ¼ всей совокупности, и, наконец ¼ значений лежит выше . При этом называется верхним квартилем, -нижним квартилем.

Определение. квантилью (квантилем) случайной величины называется такое значение аргумента функции распределения , для которого вероятность события равна заданному значению т.е.

Значение находят из таблицы квантилей нормального распределения (по таблице 7 Приложения).

Если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то точки располагаются вблизи некоторой прямой. Уравнение этой прямой имеет вид

Приближенную проверку на нормальность в реальных условиях целесообразно применять предварительно, перед применением более строгих критериев. Полезно также сначала провести качественный анализ изучаемой случайной величины, а именно проанализировать:

1. Является ли он результатом действия случайных факторов.

2. Независимы ли эти факторы.

3. Имеют ли они примерно одинаковые малые воздействия на результат.

Если такие условия, по мнению исследователя, имеют место, то можно ожидать, что изучаемая случайная величина распределена нормально, и имеет смысл проводить более строгое исследование с применением критериев согласия.

Отметим также, что при проверке на нормальность достаточно большим должно быть не только общее число опытов , но и число наблюдений (частот) в разрядах (группах). На практике рекомендуется иметь в каждом разряде не менее 5 наблюдений. Если число наблюдений в отдельных разрядах мало, то имеет смысл объединить некоторые разряды (группы).