Двухфактроный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ легко обобщается на случай двух факторов. Пусть случайная величина зависит от двух признаков (факторов): А и В. Обозначим уровни факторов А и В соответственно. Результаты измерения случайной величины представлены в таблице.

	1	2	3	….
1				…
2				….
…	…	….	…	…	…
				…

Для простоты полагаем, что в каждой клетке таблицы, т.е. при каждом сочетании уровней факторов, приведен результат только одного наблюдения (измерения). Тогда общее число наблюдений

Обозначим через математическое ожидание при уровне А , через математическое ожидание при уровне Если при измерении фактора А сохраняется равенство то естественно считать, что величина не зависит от фактора А; в противном случае зависит от фактора А; Аналогично определяется зависимость от фактора В.

Однако в априори (первоначально) значения и не известны. Таким образом, проблема сводится к задаче проверки гипотез: : и : (влияние факторов отсутствует т.е. средние значения факторов на всех уровнях одинаковы). При решении задачи будем предполагать, что выполняются следующие условия:

- ошибки наблюдений имеют нулевую среднюю;

• наблюдения при различных сочетаниях уровней факторов независимы;

• при всех сочетаниях уровней факторов случайная величина нормально распределена с одной и той же дисперсией

Изменчивость наблюдаемых факторов при переходе от одной клетки таблицы к другой может быть обусловлена как изменением уровней факторов, так и случайными неконтролируемыми факторами. Изменчивость, вызванная случайными неконтролируемыми факторами, называется остаточной.

Вычислим общую среднюю результатов измерений по формуле

Эту величину можно представить в другой форме, использующей групповые (факторные) средние и :

Точка в индексе величины означает, что суммирование ведется по ой строке, а точка в индексе величины - что суммирование ведется по ому столбцу. В этих обозначениях среднее результатов измерений вычисляется по любому из формул:

Средняя изменчивость, вызванная фактором А, вычисляется по формуле

Аналогично для изменчивости, вызванный фактором В:

Общая изменчивость, обусловленная случайными факторами, вычисляется как - остаточная дисперсия.

Общая изменчивость величины вычисляется как

Доказано, что .

Понятно, что по соотношению между , и можно судить о степени влияния факторов на случайную величину .

Проверка гипотезы о не влиянии (влиянии) фактора А основывается на сравнении величин и . Величина

имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы (числителя) и (знаменателя).

Зададимся уровнем значимости и найдем правостороннюю критическую точку решением уравнения Если значение вычисленное по результатам измерений, удовлетворяет неравенству то гипотеза о не влиянии фактора А принимается . В противном случае гипотеза отвергается, и можно заключить, что изменение фактора А влияет на изменение величины Мерой этого влияния является коэффициент детерминации

который показывает, какая доля общей изменчивости величины обусловлена изменением фактора А.

Аналогично проверяется гипотеза о не влиянии (влиянии) фактора В, которая основывается на сравнении величин и . Величина

имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы (числителя) и (знаменателя).

При уровне значимости правосторонняя критическая точка решение уравнения Если значение вычисленное по результатам измерений, удовлетворяет неравенству то гипотеза принимается. В противном случае гипотеза отвергается, и можно заключить, что изменение фактора В влияет на изменение величины .

Мерой этого влияния является коэффициент детерминации

который показывает, какая доля общей изменчивости величины обусловлена изменением фактора В.

В рамках двухфакторного дисперсионного анализа случайная величина может быть представлена в виде модели

(1)

где генеральное среднее значение величины ;

слагаемое, которое описывает эффект влияния фактора А на случайную величину на ом уровне фактора А;

слагаемое, которое описывает эффект влияния фактора В на случайную величину на ом уровне фактора В;

слагаемое, которое описывает эффект влияния случайных факторов, полагают, что

В модели (1) эффектом взаимодействия факторов пренебрегается.

Если гипотезы и не отвергаются (нет влияние факторов), то в рассматриваемой модели параметры и Величина представляет собой оценку параметра , а величина - несмещенную оценку параметра - остаточной дисперсии.

Если гипотезы и отвергаются (есть влияние факторов), то:

• оцнека параметра равна ;

• оцнека параметра равна ;

• оцнека параметра равна ;

• несмещенная оценка параметра равна .

Пример. Провести двухфакторный анализ таблицы.

	10,9	11,1	9,9	11,51	10,8525
	13,3	15,2	14,8	14,9	14,55
	17,3	18	19,6	19,3	18,55
	13,83333	14,76666667	14,76667	15,23667

В примере

- общая средняя.

= - средние знчения по фактору А.

= -средние значения по фактору В.

- дисперсия по фактору А.

- дисперсия по фактору В.

-остаточная дисперсия.

- общая дисперсия.

- наблюдаемое значение критерия Фишера по фактору А.

- критическое значение критерия Фишера (берется из таблицы Приложения), где уровень доверия; - степень свободы факторной дисперсии по А; степень свободы остаточной дисперсии.

Гипотеза о том, что величина не зависит от фактора А отвергается, т.к. , т.е. 29,73>5,143.

Коэффициент детерминации фактора А

- наблюдаемое значение критерия Фишера по фактору В.

- критическое значение критерия Фишера (берется из таблицы Приложения), где уровень доверия; - степень свободы факторной дисперсии по фактору В; степень свободы остаточной дисперсии.

Гипотеза о том, что величина не зависит от фактора В принимается , т.к. , т.е. 0,781<4,757. Коэффициент детерминации фактора В

Генеральная средняя

Несмещенная оценка параметра

Обсуждение результатов. Коэффициент детерминации для фактора А равен Это означает, что более 94% изменчивости исследуемой случайной величины обусловлено изменением этого фактора. На долю фактора В приходится только 2,5 % изменчивости, поскольку

Независимость от фактора позволяет построить уточненную модель исследуемой случайной величины в виде

где независимые случайные величины, распределенные нормально с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсией

С учетом изложенного, матрица, описывающая влияние факторов на изучаемое явление, имеет вид:

	10.852	10.852	10.852	10.852
	14.55	14.55	14.55	14.55
	18.55	18.55	18.55	18.55

Остальная часть элементов исходной матрицы обусловлена случайными факторами. Например, на уровнях и случайная величина имеет нормальное распределение

Контрольные вопросы

1. В терминах проверки статистической проверки гипотез сформулировать математическую постановку задачи двухфакторного дисперсионного анализа.

2. Записать и пояснить математическую модель двухфакторного дисперсионного анализа.

3. Записать и пояснить предпосылки применения модели двухфакторного дисперсионного анализа.

4. Записать формулы для вычисления групповых (факторных) и общих средних.

5. Записать и пояснить формулу для вычисления общей дисперсии и формулы ее раложения на факторные (А и В) и остатоточную дисперсии.

6. Записать критериальные формулы для проверки нулевых гипотез по А и В (распределения Фишера-Снедекора).

7. Записать формулы для вычисления степеней свободы дисперсий по фактору А, фактору В и остаточной дисперсии.

8. Записать уравнения для определения критических значений , критериев и . Дать интерпретацию полученных численных результатов.

9. Записать и пояснить формулы для вычисления коэффициентов детерминации по факторам А и В и пояснить полученные численные результаты.

10. Записать формулы оценки параметров распределения исследуемой случайной величины.