3.2. План выполнения работы и алгоритм расчетов

1. Исходные данные

					…..

сгруппировать в виде корреляционной таблицы (в вариантах заданы корреляционные таблицы).

Корреляционная таблица имеет вид

y x				…		Итого	Групповая средн.
				…
				….
….	…	…	…	…	…	…	…
				…
Итого				…
Групповая средн.				…

где , ,…, - наблюдаемые значения случайной величины Х, расположенные в порядке возрастания; , - значения случайной величины Y, расположенные в порядке возрастания; частота повторения пары значений в таблице исходных данных; частота повторения значения -частота повторения значения

2. Оценить предварительно форму связи между факторами и и наоборот ( и

Для этого построить точечную диаграмму (корреляционное поле). В декартовой системе координат изобразить точки с координатами пары наблюдаемых величин Х и У. По разбросу точек убедиться в том, что зависимость между Х и У можно предположительно считать линейной.

Форму связи между факторами можно установить и построением эмпирических линий регрессий: , , где групповые средние по и

Они вычисляются отдельной строкой (столбцом) в корреляционной таблице по формулам:

,

В случае линейной зависимости наблюдается разброс точек с их сгущением около некоторой прямой.

3. Выполнить промежуточные вычисления, необходимые для вычисления

коэффициента корреляции и коэффициентов линии регрессии

Для нахождения коэффициента линейной корреляции и коэффициентов

линейной регрессии и выполнить промежуточные вычисления, аналогичные вычислениям, проведенным в работе № 1:

; .

Замечание. Для упрощения расчетов корреляционную таблицу дополнить новыми строками и столбцами, все промежуточные вычисления также занести в таблицу.

Для упрощения расчетов перейти к условным вариантам:

от к от к где ложные нули (соответствующие координаты максимальной частоты );

величины шагов между равноотстоящими вариантами по переменным и

Корреляционную таблицу записать в условных вариантах (см. пример).

Формулы для вычисления необходимых числовых характеристик в условных вариантах аналогичны приведенным выше:

, .

4. Вычислить коэффициент линейной корреляции . Определить силу (тесноту) и направление связи.

Формулы для вычисления в исходных вариантах:

,

В условных вариантах

.

Будем считать линейную корреляционную связь между случайными величинами :

- слабой, если

- средней, если

- сильной, если

5. Подсчитать возможную ошибку при нахождении

6. Найти доверительный интервал коэффициента линейной корреляции генеральной совокупности

.

Значение находится по таблице критериев точек распределения Стьюдента (таблица 6 Приложения) для заданного уровня значимости и числа степеней свободы где объем выборки. Уровень значимости можно положить равным 0,05 или

Нахождение доверительного интервала для будет означать, что если случайные величины линейно коррелированы, то неизвестное значение коэффициента линейной корреляции генеральной совокупности будет находиться в найденном интервале с вероятностью 0,95. Однако обратное утверждение выполняется не всегда.

7. Установить значимость выборочного коэффициента линейной корреляции, т.е. выяснить случайна или неслучайна линейная корреляционная связь. Для этого необходимо определить, значимо ли вычисленное числовое значение отличается от того значения коэффициента линейной корреляции генеральной совокупности, при котором линейная корреляционная связь отсутствует, т.е. от нуля. При этом нулеавая гипотеза означает, что вычисленный коэффициент равен нулю, т.е.

Эта задача решается проверкой гипотезы с использованием критерия Стьюдента.

Вычисляем значение . Критическое значение находится по таблице критических точек распределения Стьюдента (таблица 6 Приложения) для заданного уровня значимости и числа степеней свободы .

Замечание. Если число наблюдений велико , то можно считать, что случайные

величины Х и У распределены нормально и потому необходимо находить по таблице значений функции Лапласса при определенном уровне значимости как значение ее аргумента, при котором выполняется условие

, где

8. Вычислить коэффициенты линейной регрессии, предварительно перейдя от условных вариант к первоначальным.

Формулы вычисления коэффициентов линейной регресии:

Формулы перехода от условных вариант к первоначальным:

9. Записать уравнения линейной регрессии:

и

или где , ;

где , .

10. Наглядно убедиться в отсутствии грубой ошибки произведенных расчетов. Для этого в одной и той же системе координат построить графики линейной регрессии (теоретической и эмпирической.)

Визуально сравнить величину отклонения второй линии от первой.

Эмпирическая линия регрессии строится по точкам с координатами …. и представляет собой ломаную линию.

11. Произвести содержательную интерпретацию результатов корреляционного анализа.

На основании вычисленного значения коэффициента линейной корреляции указать,

между какими по содержанию величинами установлена корреляционная связь, какая она по силе и по направлению.

Указать предельное значение и объяснить его практический смысл.

12. Произвести содержательную интерпретацию результатов регрессионного анализа.

Отметим, что коэффициент линейной регрессии указывает, насколько в среднем изменится У при изменении Х на одну единицу измерения. Аналогично интерпретируется коэффициент линейной регрессии .

Свободный член уравнения регрессии особого содержательного смысла не имеет. Он указывает не некоторое исходное, начальное состояние изучаемого процесса.