2.1. Краткие теоретические сведения

В статистике результаты выборочных наблюдений широко используются для проверки предположений, выдвигаемых в отношении характера или параметров распределения с.в. в генеральной совокупности. Такие предположения, которые планируется проверить с помощью специальных статистических методов, называются статистическими гипотезами.

Проверка статистической гипотезы заключается в том, чтобы оценить, можно ли считать случайным расхождение между выдвинутой гипотезой и результатами выборочного наблюдения. Такая оценка всегда носит вероятностный характер. Если расхождения между эмпирическими и теоретическими значениями не выходят за пределы случайной ошибки, то можно считать, что с заданной вероятностью выдвинутая гипотеза не опровергается. При этом справедливость гипотезы не доказывается, а лишь делается вывод о том, что можно ли ее считать допустимой или необходимо отвергнуть.

Проверка гипотезы о нормальном законе распределения изучаемой случайной величины относится к задачам первичной обработки эмпирических данных. Она важна для обоснованного применения методов математической статистики, и как самостоятельный метод для принятия или не принятия предположения (гипотезы).

Суть проверки статистической гипотезы о нормальном законе распределения (как, впрочем, и любого другого) состоит в сравнении данных о случайной величине, полученных эмпирическим путем, с теоретическими. Эта проверка производится с помощью некоторой критериальной величины или критериев согласия (в случае проверки гипотезы о законе распределения выборочных данных).

Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Различают простую и сложную гипотезы. Простая гипотеза, в отличии от сложной, полностью (однозначно) определяет теоретическую функцию распределения.с.в. По методологии приннятия решения вводят основную (нулевую) и альтернативную гипотезы.

При этом в качестве нулевой гипотезы принимается предположение, что эмпирические данные принадлежат нормальному закону распределеня с параметрами В общем случае нулевая гипотеза это предположение о том, что выборочные данные не отличваются от предполагаемых. Тогда альтернативной гипотезой будет не принадлежность распределения эмпирических данных нормальному закону распределения или выборочные данные отличаются от предполагаемых. Гипотеза вседа является логическим отрицанием .Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Правило, по которому гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом.

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда – существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Если известно эмпирическое распределение

				…..
				…..

то теоретическое

				…..
				…..

вычисляется в предположении, что изучаемая случайная величина подчиняется нормальному закону распределения с параметрами Если дан интервальный ряд, то вероятности вычисляются по формуле

,

где обозначение функции распределения нормального закона.

В случае дискретного вариационного ряда

где Здесь - значение функции Лапласса в точке

Учитывая, что величина промежутков группировки вариационного ряда , как правило, постоянна и равна получаем

Значение находится по таблице значений функции

(табличная интегральная функция Лапласса)

а значение - также табличная дифференциальная функция

Если гипотеза о нормальном законе верна, то расхождение между эмпирическими и теоретическими данными (частотами или вероятностями) должны расцениваться как случайное, а сходство как неслучайное.

Для характеристики степени расхождения (или сходства) вводят специальную меру, критериальную величину Она может быть выбрана различными способами и является функцией набдюдений т.е. и называется статистикой. Например, в качестве К можно взять сумму квадратов отклонений теоретических вероятностей от эмпирических с учетом весовых коэффициентов, или же как максимальное отклонение эмпирической функции распределения от теоретической , или же другим способом. Например, формулами (А), (В) или (С).

Очевидно, что величина К зависит от результатов наблюдений, от их числа (объема выборки, числа групп) и закона распределения, следовательно, сама является случайной, подчиняющейся некоторому закону распределения. Этот закон, как правило, хорошо изучен, выведена функция плотности распределения, составлены таблицы значений К. Эти значения критерия называются критическими и обозначаются как или

Итак, значение К можно найти по формуле на основе эмпирических данных, вариационного ряда (К наблюдаемое с обозначением ( ) и по специальной таблице ( ) – теоретическое значение критерия.

Если гипотеза о выбранном законе распределения верна, то значение меры расхождения, вычисленной на основе опытных данных , не должна превышать возможного ее теоретического значения : . Иначе говоря, если вероятность события велика, а мала, то гипотеза о предполагаемом нормальном законе распределения принимается на уровне значимости с вероятностю , в противном случае гипотеза отвергается, считая, что эмпирические данные плохо согласуются с теоретическими. Сказанное для наглядности можно представить на оси значимости, на которой отображаются уровень значимости и соответствующее ему , который разделяет числовую ось на критеческую область (справа от ) и область допустимых значений (слева от ). При попадании в область допусимых значений нулевая гипотеза принимается, в противном случае (при попадании в критическую область нулевая гипотеза отвергается в пользу альернатиной гипотезы

Отметим еще раз, что факт принятия гипотезы ни в коем случае не может считаться доказательством ее справедливости. Он указывает лишь на то, что гипотеза не противоречит опытным данным. Аналогично, факт непринятия гипотезы не опровергает ее, а говорит лишь об ее несогласованности с имеющимся набором опытных данных.

Существует ряд критериев согласия. Чаще всего применяют критерии Пирсона, Ястремского, Романовского и Колмогорова. Рассмотрим их.

Наиболее распространенные критерии согласия

В решаемой задаче: нулевая гипотеза - выборочные данные принадлежат нормальному закону распределения; - выборочные данные не принадлежат нормальномцу закону распределения.