3 Основы теории множеств и теории графов

Множество- объединение отдельных объектов в одно целое. Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества.

Множества бывают конечными и бесконечными.

При моделировании сложных систем широко используется аппарат теории графов, когда интерес представляют различные связи и отношения между событиями, состояниями и вообще между любыми объектами. Рассматриваемые объекты изображают точками, называемыми вершинами, а связи между ними – линиями, называемыми ребрами.

Множество вершин А, связи между которыми определены множеством ребер С, называют графом и обозначают G = ( А, С ).

Подграф – часть графа, образованная некоторым подмножеством ребер графа и всеми инцидентными им вершинами.

Путь на графе – это некоторая последовательность дуг, такая что конец предыдущей дуги совпадает с началом последующей дуги. Если же начало первой дуги совпадает с концом последней, то этот путь называется циклом.

Простой цикл – цикл, не содержащий повторяющихся вершин.

Граф является связным, если можно указать маршрут, охватывающий все вершины графа.

4 Элементы теории надежности

Проектирование сложных систем немыслимо без учета и анализа надежности. Методы теории вероятности и математической статистики позволяют устанавливать количественные показатели надежности, сравнивать различные варианты по этим показателям.

Надежность- это свойство системы сохранять свое качество (работоспособность). Основными составляющими надежности являются безотказность, ремонтопригодность (восстанавливаемость), долговечность.

В качестве количественных характеристик надежности чаще всего используют вероятность и среднее время безотказной работы.

Надежность системы зависит от ее составных элементов и способов их объединения в системе. Очевидными средствами повышения надежности системы являются увеличение надежности элементов, а также резервирование (введение в систему избыточных элементов, которые

должны заменять выходящие из строя). В резервированных системах восстановление может производиться немедленно после отказа.

Различают восстанавливаемые и невосстанавливаемые системы.

Вероятность безотказной работы в течении времени определяется некоторой функцией , которую называют законом надежности или надежностью.

Вероятность того, что за время элемент откажет, характеризует противоположное свойство- ненадежность и выражается как

Очевидно, что можно рассматривать как функцию распределения отказов.

5 Применение теории линейного программирования. Основные положения

Линейное программирование возникло в связи с рассмотрением вопросов о нахождении наивыгоднейших вариантов при решении различных задач. В этих задачах имеются большая свобода изменений различных параметров и ряд ограничивающих условий. Требуется найти такие значения параметров, которые с некоторой точки зрения были бы наилучшими.

К таким задачам относятся задачи:

1) нахождения наиболее рационального способа использования сырья и материалов,

2) определение наивыгоднейших производственных режимов,

3) повышение эффективности работы транспорта и т.п.