Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО КУРСУ «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» (ЧАСТЬ I)

для студентов всех строительных специальностей очной и заочной форм обучения

Краснодар

2007

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

1ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ГИПОТЕЗЫ И ДОПУЩЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ

ВМЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЕЕ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ОБЛАСТЯМИ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ

Механика деформируемого твердого тела (МДТТ) изучает законы деформирования твердых тел под действием приложенных к ним внешних сил, температурных, магнитных полей, и других внешних воздействий. В результате силового или иного внешнего воздействия материальные частицы твердого тела приходят в движение, что приводит к изменению расстояния между ними. Это приводит к деформации малой окрестности точки тела (локальные деформации) и всего тела в целом (глобальные деформации). В МДТТ рассматривают, в основном, локальные деформации, описывающие изменение расстояний между ближайшими точками материального тела, и изменение взаимной ориентации отдельных волокон. Под волокном понимается совокупность материальных точек тела, непрерывно заполняющих малый отрезок, заданным образом ориентированный в пространстве.

МДТТ базируется на знаниях, полученных при изучении теоретической механики. В МДТТ используются следующие положения теоретической механики:

−условия равновесия системы,

−уравнения движения, аксиомы статики,

−метод сечений,

−метод приведения системы сил к заданному центру,

−принцип возможных перемещений и т.д.

Одной из основных гипотез МДТТ является гипотеза сплошности, которая состоит в том, что деформируемое твердое тело без пустот заполняет своими материальными точками ту часть пространства, которая находится в пределах границы тела. Опираясь на эту гипотезу, в МДТТ широко используется математический аппарат дифференциального и интегрального вычисления. В вопросах, связанных с объяснением процессов деформирования и разрушения тел, МДТТ опирается на достижения физики твердого тела.

МДТТ в свою очередь является основой для целого ряда прикладных инженерных дисциплин: «Детали машин и механизмов», «Статика и динамика сооружений», «Строительные конструкции» и т.д.

МДТТ включает в себя целый ряд наук: «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Теория упругости», «Теория пластичности», «Теория ползучести», «Аэрогидроупругость», «Механика грунтов» и др.

В МДТТ существуют различные классификации входящих в нее научных дисциплин. Рассмотрим классификацию по объектам изучения:

− теория стержней и брусьев – «Сопротивление материалов»,

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

−теория стержневых конструкций − «Строительная механика»,

−теория пластин и оболочек − «Теория упругости».

Кроме того, в МДТТ имеется классификация наук и по характеру деформированного состояния твердого тела: теория колебаний, теория устойчивости и др.

1.2КЛАССИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ ИЗУЧЕНИЯ

В МДТТ тела рассматриваются упрощенно, без учета второстепенных их характеристик, в виде так называемых расчетных схем.

Рисунок 1.1. Брус

Материальное тело, два измерения которого значительно меньше третьего, называется брусом (рис. 1.1). Брус может быть образован движением некоторой плоской фигуры так, что центр тяжести этой фигуры все время принадлежит линии L, а область Σ будет перпендикулярна касательной в точке О к линии L. В дальнейшем линию L будем называть осью бруса, а фи-

гуру Σ − поперечным сечением бруса.

Если область Σ изменяет свои размеры по мере передвижения вдоль оси L, то это брус переменного поперечного сечения. Если же размеры фигу-

ры Σ при движении остаются неизменными – то такое тело называется бру-

сом постоянного поперечного сечения. В том случае, если линия L представ-

ляет собой плоскую или пространственную кривую, то мы имеем брус с криволинейной осью. Когда линия L является прямой, то мы имеем брус с прямо-

линейной осью.

Брус с прямолинейной осью называется стержнем, если под действием внешних сил в нем преобладают деформации, направленные вдоль его оси L. Если же к брусу с прямолинейной осью приложены внешние нагрузки, создающие деформации, связанные с изменением кривизны его оси, то такое тело называется балкой.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

нейшем поверхность S будем на-

зывать срединной поверхностью оболочки, а величину h − толщиной оболочки в точке О. Если отрезок АВ не изменяет своих размеров при перемещении по срединной поверхности, то получаем оболочку постоянной толщины, в обратном случае имеем оболочку переменной толщины. Пластина это частный случай оболочки, когда срединной поверхностью служит плоскость.

1.3 ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ГИПОТЕЗЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

В курсе «Сопротивление материалов» используются следующие основные допущения:

1.Рассматривается идеализированное однородное твердое тело. Под однородностью понимается одинаковость свойств материала во всех точках тела. Экспериментально доказано, что материал имеет неоднородную, дискретную структуру. Вместе с тем, реальные тела

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

можно рассматривать как однородные в среднем, когда объем элемента тела намного превосходит объем структурных единиц, его составляющих (атомов, молекул, зерен).

2.Твердое тело без пустот заполняет своими материальными точками ту часть пространства, которая находится в пределах его границ. Такие тела принято называть сплошной средой.

3.Сплошная среда принимается изотропной, т.е. обладающей во всех направлениях одинаковыми свойствами. Анизотропными называются материалы, свойства которых в разных направлениях различны. Ортотропные тела обладают одинаковыми свойствами только в определенных направлениях.

4.В сопротивлении материалов рассматриваются тела, обладающие способностью деформироваться. Под деформацией тела понимают его способность изменять свои начальные размеры и форму под действием внешней нагрузки. Предполагается, что тело является линейно-деформируемым, т.е. деформации пропорциональны приложенной нагрузке (считается справедливым закон Гука). Деформации малы по сравнению с размерами тела, что позволяет не учитывать их при рассмотрении условий равновесия (расчет по недеформированной схеме).

5.Твердое тело предполагается упругим. Под упругостью понимается

способность тела при устранении внешних воздействий восстанавливать свои первоначальные размеры и форму.

Помимо рассмотренных выше допущений в курсе сопротивлении материалов вводится ряд гипотез, позволяющих значительно упростить расчет:

1.Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции), ко-

торый гласит, что результат совместного воздействия нескольких сил равен сумме (алгебраической или геометрической) результатов воздействия каждой из них в отдельности.

2.Принцип Сен-Венана (принцип локальности), в соответствии с которым на достаточном удалении от места приложения внешней нагрузки конкретный способ передачи этой нагрузки можно не учитывать.

3.Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси бруса до приложения к нему внешних нагрузок, остаются плоскими и нормальными к его оси при действии нагрузки.

1.4ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Все современные конструкции и сооружения изготавливают или строят по заранее разработанным проектам. Проект − это чертеж или ряд чертежей и

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

технических рисунков, в которых указываются все размеры элементов конструкций, необходимых для изготовления, их материалы, а также приводится описание технологии. Таким образом, еще в процессе проектирования необходимо уметь определять размеры элементов и деталей, входящих в состав конструкций или сооружений. Вполне очевидно, что эти размеры зависят от ряда условий и обстоятельств, в том числе от свойств материала изделия и от предполагаемых на него внешних воздействий. Любая конструкция должна обладать надежностью при эксплуатации и быть экономичной.

Наука о сопротивлении материалов призвана дать ответ на вопрос о степени надежности элементов конструкций. Понятие надежность можно определить, как способность элемента функционировать в заданных пределах изменения параметров, характеризующих состояние системы. В сопротивлении материалов такими параметрами служат деформации и напряжения, для которых устанавливаются границы, обеспечивающие прочность,

жесткость и устойчивость элементов.

Элемент считается прочным, если под действием внешних воздействий не разрушается (т.е. не происходит разделение тела на отдельные части).

Если деформации элемента не превышают некоторых заданных пределов, то элемент считается жестким. Величина допускаемых деформаций отдельных элементов строительных конструкций определяется в соответствии с требованиями СНиП (строительных норм и правил).

Под устойчивостью элемента понимают его способность сохранять первоначальную форму равновесия.

Таким образом, основными задачами сопротивления материалов явля-

ются расчеты брусьев на прочность, жесткость и устойчивость.

1.5КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ НАУКИ

ОСОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

Необходимо отметить, что первые заметки о прочности, упоминаются в записках известного художника Леонардо да Винчи. Зарождение сопротивления материалов как науки датируется 1638 г., когда в голландском городе Лейдене была издана книга Галилео Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», хотя необходимо отметить, что первые заметки о прочности, упоминаются еще в записках известного художника Леонардо да Винчи. В своем труде Галилей разработал основы двух новых наук: динамики и прочности. Галилеем дана постановка проблемы о прочности тел и предпринята первая в истории человечества попытка решить этот вопрос на научной основе. Конечно, и ранее возводились поражающие ум человека архитектурные творения, однако их сооружение выполнялось на базе эмпирических знаний, методом проб, на базе знаний, передававшихся от поколения к поколению как результат опыта, накоплен-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

ного в практической деятельности. Галилеем сказано новое слово в задаче об изгибе балки, где он правильно установил, что для балки прямоугольного поперечного сечения момент сопротивления пропорционален первой степени ширины и квадрату высоты ее сечения. Ошибка в коэффициенте пропорциональности проистекала из неправильного предположения о законе распределения напряжений в поперечном сечении заделанного конца консольной балки, подверженной поперечной силе, приложенной к свободному концу балки. Наличие этой ошибки не умаляет великого достоинства предпринятой Галилеем попытки дать теоретическое решение этой очень сложной для того времени задачи. Вопрос о прочности стержней под действием продольной силы во времена Галилея, видимо, был решен, и сопротивление стержня правильно считалось пропорциональным площади поперечного сечения.

Втом же XVII в. был сделан другой существенный шаг в развитии сопротивления материалов и в 1660 г. Гуком был открыт, а в 1678 г. опубликован закон пропорциональности между нагрузкой и деформацией.

Впоследующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Вариньон, Яков Бернулли, Кулон и др. Лишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь поиска решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Он дал правильное решение этой задачи и впервые ввел понятие напряжения. Навье сделал существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что он отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию системы. Это очень широко используемое положение иногда на-

зывают принципом неизменности начальных размеров.

Вистории развития сопротивления материалов важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет. Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы.

Применение формулы Эйлера за границами предела пропорциональности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы. Лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил заменить в формуле Эйлера модуль начальный упругости касательным модулем. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский. В 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. В 1946 г. Шенли опубликовал исследование, в котором провел обстоятельный анализ потери устойчивости за пределом пропорциональности и дал обоснование введению касательного модуля в формулу Эйлера, предложенного Энгессером.

Ведущая роль в изучении проблемы устойчивости пластин и оболочек в пределах упругих деформаций и за пределом пропорциональности принадлежит советским ученым. Важные результаты в решении этой проблемы с учетом пластических деформаций принадлежат А. А. Ильюшину.

В развитие науки о прочности большой вклад внесли наши отечественные ученые. Кроме упоминавшихся выше имен Л. Эйлера и Ф.С. Ясинского следует отметить большие заслуги Д.И. Журавского, X.С. Головина, П.Ф. Папковича, Б.Г. Галеркина, С.П. Тимошенко, В.3. Власова, Н.М. Беляева, А.А. Гвоздева, Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, А.А. Ильюшина, Ю.Н. Работнова и многих других.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

2ГЕОМЕТРИЧЕСКЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

2.1МОМЕНТЫ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Величина перемещений и деформаций брусьев под действием внешних нагрузок зависит не только от физико-механических характеристик материала, так и от вида поперечного сечения бруса. Рассмотрим два прямых бруса прямоугольного поперечного сечения. Длина брусьев l. Они изготовлены из одинакового материала и нагружены одинаковыми внешними силами, различно ориентированными по отношению к поперечному сечению (рис. 2.1).

Из рис. 2.1 следует, что брус а является более гибким, чем брус b и вертикальное перемещение точки приложения силы v1 > v2. Большая жесткость бруса в случае б объясняется разницей в ориентации по отношению к направлению силы F коротких и длинных сторон сечения, следовательно, у этих брусьев различные геометрические характеристики поперечных сечений относительно осей х и у.

Рассмотрим некоторую область А, расположенную в плоскости хОу и ограниченную замкнутой кривой Г. Эту область в дальнейшем будем именовать плоским сечением. В системе прямоугольных декартовых координат хОу заданная точка М, принадлежащая замкнутой области А, имеет координаты хм и ум. Полярные координаты этой точки определяются радиус-вектором ρм и углом αм (рис. 2.2). Если в пределах указанной области А задать некоторую функцию f(x,y) координат всех точек этого сечения, то момент площади сечения будет определяться следующим выражением:

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Выражения (2.2) называются осе- Рисунок 1.2 − Поперечное сечение выми моментами площади поперечного

сечения А n-го порядка относительно координатных осей Oy и Ox соответственно. В том случае, когда f (x, y) = xn ym , мы имеем центробежный момент поперечного сечения (n+m)-го порядка.

В задачах сопротивления материалов встречаются следующие моменты площади плоских поперечных сечений:

–статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox

(моменты первого порядка). Размерность моментов площади первого порядка [м3]:

–осевые моменты инерции относительно координатных осей Oy и Ox (моменты второго порядка):

–центробежный момент инерции относительно координатных осей Oy и Ox (момент второго порядка):

Размерность всех моментов площади второго порядка [м4].