ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Рисунок 5.17 – Определение деформаций εα и γα

Сравним эти формулы с формулами (5.22) и (5.23), записав их через главные напряжения, используя замену σz =σ1 , σy =σ2 и τzy = 0

На основании полученных зависимостей можно сделать вывод об аналогии между напряженным и деформированным состоянием в точке. Заменяя в выражении (5.32) σz , σy и τzy на εz , εy и γzy / 2 , имеем

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

По формуле (5.38) можно определить главные деформации через исходные деформации εz , εy и γzy для привольных осей z, у, х. проведенных в данной

точке. По аналогии с (5.27) можно утверждать, что в данной плоскости

Учитывая выражение первого инварианта напряженного состояния (5.7), можно показать, что для трех произвольных взаимно перпендикулярных площадок εz +εy +εх = const . В точках упругого и изотропного тела направ-

ление главных напряжений и главных деформаций всегда совпадает.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

6 СДВИГ

6.1. ПОНЯТИЕ О ЧИСТОМ СДВИГЕ. АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ

При чистом сдвиге в поперечных сечениях бруса действуют только поперечные силы Qx или Qy . Если в окрестности некоторой точки, принадле-

жащей указанному сечению, выделить прямоугольный элемент, то он будет испытывать только деформацию сдвига, а удлинения его сторон отсутствуют. По граням указанного элемента действуют только касательные напряже-

ния τzy = τyz (рис. 6.1). Таким образом, чистым сдвигом называют такой вид

плоского напряженно−деформированного состояния, при котором на двух взаимно перпендикулярных площадках, действуют только касательные напряжения. Эти площадки называют площадками чистого сдвига.

а при α = 135° (sin 2α = −1) − минимальное напряжение σ3 = −τ . Экстремальные касательные напряжения по формуле (6.2) равны τmax =τ .

Итак, при чистом сдвиге главные напряжения равны между собой и численно равны экстремальным касательным напряжениям. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45°.

Чистый сдвиг представляет собой единственный вид плоского напряженного состояния, при котором отсутствует изменение объема материала, а любой выделенный элемент при чистом сдвиге изменяет только форму.

6.2 ЗАКОН ГУКА ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ МОДУЛЯМИ УПРУГОСТИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

Рассмотрим деформацию элемента, ограниченного площадками чистого сдвига (рис. 6.2). Величину δ называют абсолютным сдвигом, а отноше-

ние δ / а ≈ γ − относительным сдвигом, или углом сдвига. Экспериментально

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

установлено, что в определенных пределах деформация сдвига происходит упруго, а величина ее пропорциональна касательным напряжениям τ :

γ =τG ,

или

Это соотношение называют законом Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G между касательным напряжением и углом сдвига называют

модулем упругости при сдвиге, или модулем упругости второго рода. Вели-

чина модуля G определяется экспериментально. Для каждого материала модуль сдвига G имеет свое значение. Так, для стали G ≈ 0,8 105 МПа.

Типичный вид диаграммы деформации сдвига в осях τ −γ для пластичной стали показан на рис. 6.2. Эта диаграмма аналогична диаграмме при растяжении. Напряжение τ pr называется пределом пропорциональности при

сдвиге и является границей справедливости закона Гука (6.3). Точка τу соот-

ветствует пределу текучести при сдвиге. Так же как и при растяжении, при постоянном напряжении τ =τу наблюдается значительный рост сдвигов

(текучесть при сдвиге), сменяющийся затем стадией упрочнения.

Тангенс угла наклона диаграммы на ее линейном участке относительно горизонтальной оси численно равен модулю сдвига материала

tgα = τγ = G .

рассмотрим бесконечно малый элемент материала, находящийся в условиях чистого сдвига (рис. 6.3). Удлинение s диагонали АС с одной стороны является следствием деформации сдвига и, значит, при заданных напряжениях τ зависит от модуля G. С другой стороны, диагональ АС можно

6.3 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПРИ ЧИСТОМ СДВИГЕ

При деформации элемента, ограниченного площадками чистого сдвига, показанного на рис. 6.4, работу совершает только касательная сила Т, приложенная к его верхней грани на перемещении δ . При условии, что размер элемента, перпендикулярный чертежу равен единице, сдвигающая сила равна Т =τа 1. Если материал работает в линейно−упругой области, то величина сдвига δ пропорциональна силе сдвига Т. Работа этой силы А и, следовательно, соответствующая ей потенциальная энергия сдвига U определяются как заштрихованная площадь под диаграммой сдвига (рис. 6.4). Тогда

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

6.4 ПРАКТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ СОЕДИНЕНИЙ, РАБОТАЮЩИХ НА СДВИГ

6.4.1 РАСЧЕТ ЗАКЛЕПОЧНЫХ И БОЛТОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ

Рассмотрим работу одиночной заклепки, соединяющей три листа (рис. 6.5). Разрушение такого соединения может быть вызвано срезом заклепки по двум плоскостям m−n и m1−n1. Такая заклепка называется двухсрезной. Аналогичным образом работает и болтовое соединение (рис. 6.5). Все дальнейшие выкладки относятся как к заклепочным, так и к болтовым соединениям. Определим предельную силу Fsmax , которую может выдержать одна двух-

срезная заклепка из условия среза.

Будем считать, что заклепочное соединение теряет несущую способность, когда касательные напряжения по плоскостям сдвига становятся равными пределу текучести. В качестве расчетной прочностной характеристики принимаем расчетное сопротивление среза Rs , определяемое эксперимен-

тальным путем. Предполагаем, что в предельном состоянии касательные напряжения равномерно распределены по плоскостям среза и равны Rs . Тогда

Fsmax = пАs Rs = пπd4 2 Rs .

где Аs − площадь среза заклепки;

d − диаметр заклепки;

п − число плоскостей среза (для двухсрезной заклепки п = 2).

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Если заклепочное соединение содержит несколько заклепок, то при допущении о равномерном распределении силы между всеми заклепками, то

где k − количество заклепок в заклепочном соединении.

Рисунок 6.5 – Работа отдельной заклепки на срез и смятие

Помимо среза при относительно тонких листах возможно нарушение соединения вследствие смятия, как листов, так и заклепки в месте их контакта. Действительное распределение напряжений по поверхности контакта достаточно сложное. Однако, приближенно можно считать, что они равномерно распределены по проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость заклепки Acol =δd . Эта площадь называется условной площадью смя-

тия (рис. 6.5). В общем случае, при наличии в соединении нескольких листов, обладающих разными толщинами δi , суммарная площадь смятия равна

i=1

где d − диаметр заклепки или болта;

n

∑δi − суммарная толщина листов сминаемых в одном направлении.

i=1

Экспериментально устанавливается расчетная величина расчетного сопротивления материала смятия Rcol . Предельная расчетная сила на одну

заклепку по смятию равна

Очевидно, что в качестве расчетного усилия для заклепки принимается наименьшая из двух сил, найденных из условий смятия и среза.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

6.4.2 ОСНОВЫ РАСЧЕТА СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ НА СРЕЗ

Рассмотрим принцип расчета сварного соединения из двух листов с угловыми швами (рис. 6.6). Сварные соединения не создают местных ослаблений элементов и являются менее трудоемки, чем другие виды соединений.

F

h

h

As

As

F

Сварной шов

Рисунок 6.6 – Разрушение угловых швов при срезе

Разрушение сварных швов происходит от среза по площадкам, наклоненным под углом 45° относительно плоскости соединяемых листов. Расчетное поперечное сечение шва приближенно заменяется треугольником. Если обозначить высоту шва через h, то площадь среза для двух швов будет равна:

As = 2lhβ ,

где β − коэффициент, зависящий от вида сварки (для ручной сварки β = 0,7 , для автоматической сварки β =1,0 );

h − высота катета сварного шва.

Предполагается, что касательные напряжения по площади среза шва

где Rs − расчетное сопротивление материала углового сварного шва на срез;

l − расчетная длина одного шва, которая берется на 10 мм меньше фактической длины из-за возможного непровара шва.

Задавшись высотой шва l , по формуле (6.10) можно найти требуемую длину сварного шва.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

7 КРУЧЕНИЕ

Кручением называют такой случай деформации прямого бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают только крутящие моменты M z .

На кручение работают многие детали строительных машин и механизмов. Стержень, работающий на кручение, принято называть валом. Экспериментальные исследования показали, что характер деформаций при кручении в значительной степени зависит от формы поперечного сечения стержня. Рассмотрим кручение стержней с круглым или кольцевым сечением, которые наиболее часто используются в технике.

7.1НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ

СКРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Рисунок 7.1 – Кручение вала круглого поперечного сечения

На боковой поверхности вала проведем образующую ab, которая после приложения крутящего момента займет новое положение ab'. В результате сечение, взятое на расстоянии z от заделки, повернется на угол ϕ , а соседнее

с ним сечение, проведенное на расстоянии dz − на угол ϕ + dϕ (рис. 7.1). Отдельно рассмотрим элемент вала длиной dz. Будем считать левое се-

чение неподвижным, тогда соседние сечения поворачиваются на угол dϕ . Образующая cd отклонится на малый угол γ и займет новое положение cd'.

Угол сдвига волокна, принадлежащего поверхности вала, определяется равенством

γ = dcdd′ = rddzϕ

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Для произвольного волокна, находящегося на расстоянии ρ от центра круга, имеем

γ ρ= kcdk′ = ρdzdϕ .

На основании закона Гука при сдвиге (6.3) для двух указанных точек можно записать:

Сопоставляя полученные формулы, можно сделать вывод, что касательные напряжения в точках поперечного сечения изменяются по линейному закону. Наибольшие напряжения наблюдаются в точках, принадлежащих внешнему контуру сечения.

Найдем величину dϕ / dz из условия, что касательные напряжения,

действующие по поперечному сечению вала, можно привести к паре сил, момент которой равен крутящему моменту Мz. Выделим вокруг произвольной точки площадку dA, на которой действует элементарная касательная сила τρ dA (рис. 7.2). Запишем выражение для момента этой силы относи-

тельно оси вала

А

Подставляя в формулу (7.3) выражение (7.2), получаем

M z = ∫∫Gρ ddzϕ dAρ .

А

Вынесем за знак интеграла величину G ddzϕ , так как для всех точек попереч-

ного сечения она является некоторой постоянной. В результате получаем

Jρ = ∫∫ρ2 dA,

А

где Jρ − полярный момент инерции поперечного сечения. Для круглого сечения Jρ =πd 4 32 , а для кольцевого сечения − Jρ = π(D4 −d 4 )32 .