ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

частями. Эти дополнительные силы по отношению к твердому телу являются

внутренними.

Для определения внутренних сил применим к рассматриваемому телу метод сечений. Рассечем твердое тело плоскостью на две части А и В (рис. 3.6, а). Действие одной части на другую заменим системой внутренних сил,

распределенных по всему сечению (рис. 3.5, б). Как всякую систему сил,

указанные усилия можно привести к одной точке О (обычно к центру тяжести поперечного сечения), в ре-

се «Сопротивление материалов» принято использовать правостороннюю систему координат (при взгляде с положительного направления оси z ось x должна совмещаться с осью y против часовой стрелки). В дальнейшем ось z всегда будем совмещать с направлением внешней нормали к поперечному

сечению, а ось x направлять навстречу нашему взгляду.

Рассечем брус сечением и мысленно отбросим часть В. Действие отброшенной части бруса В заменим системой распределенных внутренних

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

усилий, действующих по поперечному сечению части А, которые сведем к главному моменту и главному вектору (рис. 3.7, б).

Разложим главный вектор и главный момент внутренних усилий по координатным осям (рис. 3.7, б). В результате мы получим шесть внутренних усилий в рассматриваемом сечении: три силы (Nz, Qx и Qy) и три момента (Mx, My и Mz). Усилие Nz, вызывающее деформацию бруса в направлении оси z, называется продольной силой. Усилия Qx и Qy вызывают сдвиги по осям x и y соответственно и называются поперечными силами. Момент Mz вызывает кручение стержня, поэтому называется крутящим моментом. Моменты Mx и My вызывают изгиб в главных плоскостях инерции бруса zOy и zOx, поэтому называются изгибающими моментами. Совокупность указанных сил и мо-

ментов принято называть внутренними силовыми факторами (ВСФ).

Рисунок 3.7 – Внутренние силовые факторы в поперечном сечении бруса

3.3. ПОНЯТИЕ О ПРОСТОМ И СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ПРЯМОГО БРУСА

В частных случаях загружения бруса внешними силами в его попереч-

ных сечениях могут возникать множество комбинации внутренних силовых факторов, вызывающих различные виды его деформации. В курсе «Сопротивление материалов» рассматривается простое и сложное сопротивление

бруса. К простому сопротивлению относят те виды деформаций, при которых в поперечном сечении бруса возникают внутренние силовые факторы, действующие в одной плоскости. Сложным сопротивлением бруса называются такие виды деформации, при которых внутренние силовые факторы,

возникающие в поперечном сечении, действуют в различных плоскостях. К простому сопротивлению прямого бруса относятся следующие виды его деформации:

−одноосное растяжение или сжатие (в поперечном сечении действу-

ет только продольная сила Nz);

−простой сдвиг или срез (в поперечном сечении действует поперечная

сила Qх или Qy);

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

−кручение (в поперечном сечении действует крутящий момент Мz);

−чистый изгиб (в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент Mx или My);

−поперечный изгиб (в поперечном сечении бруса действует изгибаю-

щий момент Mx и соответствующая ему поперечная сила Qy или момент My и сила Qx).

Ксложному сопротивлению прямого бруса относятся:

−внецентренное растяжение или сжатие (в поперечном сечении

бруса действуют изгибающие моменты Mx и My, а также продольная сила Nz);

−косой изгиб (в поперечном сечении бруса действуют изгибающие моменты Mx и My);

−совместное действие кручения и изгиба (в сечении действуют изги-

бающие моменты Mx и My, а также крутящий момент Mz) и т.д.

3.4.ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

Винженерной практике необходимо четко представлять связь между внешними нагрузками и возникающими в элементах конструкций внутренними силами, напряжениями и перемещениями. Указанные зависимости являются некоторыми функциями координат x, y или z и могут быть изображены на плоскости в виде графиков, называемых эпюрами внутренних сило-

вых факторов, напряжений или перемещений соответственно.

Рассмотрим построение эпюр внутренних силовых факторов, которые являются функциями координаты z, определяющей текущее положение по-

перечного сечения бруса: Nz=f(z), Qx=f(z), Qy=f(z), Mx=f (z), My=f (z), Mz=f (z).

Графики этих функций, построенные в соответствующем масштабе, называ-

ются эпюрами внутренних силовых факторов. Справедливо и другое определение: эпюрой называется график, показывающий изменение внутренних силовых факторов при перемещении поперечного сечения вдоль оси бруса при неизменной внешней нагрузке.

Построение эпюр внутренних силовых факторов необходимо для вы-

полнения прочностных расчетов (подбора необходимых размеров поперечного сечения бруса из условий прочности при соответствующих видах его деформации). Эпюры помогают установить положение «опасных» сечений,

где возникают максимальные значения внутренних усилий и, следовательно,

действуют экстремальные нормальные или касательные напряжения. Построение эпюр ведется известным методом сечений.

Введем следующие правила для определения знаков внутренних сило-

вых факторов (рис. 3.8) для наиболее частого случая загружения бруса, когда все внешние усилия действуют в вертикальной плоскости zOy. Таким образом, положительная продольная сила Nz направлена от поперечного сечения

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

(растягивает брус) и совпадает с положительным направлением координат-

ной оси Oz. Положительная поперечная сила Qy должна вращать рассматри-

ваемую часть бруса по часовой стрелке и совпадает с положительным направлением оси Oy. Изгибающий момент Mx будет считаться положительным, если растягивает нижние волокна бруса.

бруса. Данное правило справедливо для всех строительных специальностей. Для всех других специальностей ординаты эпюр изгибающих моментов откладываются со стороны сжатых волокон бруса. Знаки на эпюрах изгибаю-

щих моментов обычно не ставят.

Приступая к построению эпюр внутренних силовых факторов, брус разбивают на грузовые участки. Грузовым участком называют часть оси бру-

са, заключенную:

−между точками приложения внешних сосредоточенных сил или моментов, включая опорные реакции;

−между точками, ограничивающими участки приложения распределенных нагрузок или моментов;

−между точками, где происходит излом оси бруса или изменяются

размеры его поперечного сечения.

В пределах грузового участка функции внутренних силовых факторов не должны иметь изломов или разрывов, т.е. в указанных пределах они являются гладкими, дифференцируемыми и интегрируемыми функциями.

3.5 ОБЩИЙ ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

Рассмотрим порядок построения эпюр ВСФ в балке. При построении

эпюр внутренних силовых факторов пользуются методом сечений. Суть это-

го метода состоит в том, что в пределах каждого грузового участка прово-

дится поперечное сечение и отбрасывается левая или правая часть бруса.

Действие отброшенной части бруса заменяют внутренними силами и момен-

тами, приложенными в сечении. Для их определения используют уравнения равновесия статики.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

+

1

Эп. Мх (кНм)

Рисунок 3.9 – Общий порядок построения эпюр ВСФ Положительные ординаты эпюры поперечных сил Qy откладываем вы-

ше нулевой линии, а положительные ординаты эпюры изгибающих моментов M x − ниже (рис. 3.9). В результате получаем Qy и M x в пределах первого

грузового участка балки.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

ния, изменяется в пределах второго грузового участка, но отсчитывается от ранее выбранного начала координат, следовательно, 1 ≤ z2 ≤ 2 м. Записываем

статические уравнения равновесия для отсеченной части балки:

∑y = 0 ; Qy − RA + F = 0;

Qy = RA − F =19 −10 = 9 кН= сonst ;

∑mx = 0 ; M x − RA z2 + M1 + F(z2 −1)= 0 ; M x = RA z2 − M1 − F(z2 −1).

Из полученных выражений следует, что эпюра поперечных сил Qy в

пределах второго грузового участка представляет собой прямую, параллельную горизонтальной оси и не зависит от текущей координаты z , а эпюра изгибающих моментов M x линейно зависит от координаты z . Для построения

эпюры M x находим ее ординаты на границах грузового участка:

z2 =1 м; M x = RA z2 − M1 − F(z2 −1)=19 1 − 20 −10 (1 −1)= −1 кНм; z2 = 2 м; M x = RA z2 − M1 − F(z2 −1)=19 2 − 20 −10 (2 −1)= 8 кНм.

Строим эпюры Qy и M x в пределах второго грузового участка (рис. 3.9).

Анализируя ранее выполненные расчеты можно сделать вывод, что при увеличении количества грузовых участков от начала координат до рассматриваемого сечения запись уравнений статики значительно усложняется. Поэтому при построении эпюр внутренних силовых факторов часто применяют такой прием как изменение начала координат. Этот прием помогает существенно уменьшить трудоемкость вычислений.

положительном направлении. Координата z4, определяющая положение рассматриваемого сечения, изменяется в следующих пределах 0 ≤ z4 ≤1 м. Запи-

сываем статические уравнения равновесия отсеченной части балки:

∑y = 0 ; Qy = 0 ; Qy = 0 = сonst ;

∑mx = 0 ; M x − M 2 = 0 ; M x = M 2 =10 кНм= сonst .

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Из полученных выражений следует, что эпюра поперечных сил Qy в

пределах четвертого грузового участка совпадает с осью z , а эпюра изгибающих моментов M x параллельна горизонтальной

балки. Ось z направляем вдоль оси балки, ось x − навстречу нашему взгляду, а ось y направляем вверх, чтобы получить правостороннюю систему координат. Отбрасываем левую часть балки. В сечении показываем внутренние силовые факторы (изгибающий момент Mx и поперечную силу Qy), действующие в положительном направлении. Координата z3, определяющая положение рассматриваемого сечения, изменяется в пределах третьего участка, но отсчитывается от принятого ранее начала координат: 1 ≤ z3 ≤ 3 м. Записываем

статические уравнения равновесия для отсеченной части балки:

∑y = 0 ; Qy + RB − q(z3 −1)= 0 ; Qy = q(z3 −1)− RB ;

∑mx = 0 ; M x + M 2 − RB (z3 −1)+ q(z3 −1)2 / 2 = 0 ;

M x = RB (z3 −1)− M 2 − q(z3 −1)2 / 2 .

Из полученных выражений следует, что эпюра поперечных сил Qy в

пределах третьего грузового участка изменяется по линейному закону, а эпюра изгибающих моментов M x зависит от квадрата координаты z и пред-

ставляет собой квадратную параболу. Строим эпюры Qy и M x в пределах четвертого грузового участка (рис. 3.9). Для построения эпюр Qy и M x необходимо определить их ординаты на границах грузового участка:

третьего грузового участка меняет знак и пересекает нулевую линию. Как будет доказано далее под нулевым значением на эпюре поперечных сил Qy

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

лости участка dz интенсивности проекций внешней распределенной нагрузки q на координатные оси qy и qz, а также интенсивность распределенного момента mx будем считать постоянными. Под действием внешних нагрузок в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовые факторы Nz, Qy и Mx, получающие приращения на длине dz равные dNz, dQy и dMx соответственно. Для их определения запишем следующие уравнения равновесия статики:

∑z = 0; − Nz + (Nz + dNz )+ qz dz = 0;

∑y = 0; −Qy + (Qy + dQy )+ qy dz = 0;

∑mxB = 0; -M x + (M x + dM x )−Qy dz + qy dz(dz / 2)+ mxdz = 0.

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости в третьем уравнении, сокращая члены с противоположными знаками и деля на dz, получаем дифференциальные уравнения равновесия бруса для плоскости zOy.

Если изгибная деформация бруса происходит в двух главных плоскостях инерции, то необходимо рассмотреть равновесие выделенного элемента в плоскости zOх. По аналогии с вышеизложенным, запишем следующие уравнения статики:

∑x = 0; −Qx + (Qx + dQx )+ qx dz = 0;

∑myB = 0; − M y +(M y + dM y )−Qx dz + qx dz(dz / 2)+ my dz = 0.

Следовательно,

Последнее, шестое, уравнение равновесия получим из суммы моментов относительно оси Oz:

∑mx = 0; − M x + (M x + dM x )+ mxdz = 0.