ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

хрупких материалов, опасное состояние определяется появлением трещин и разрушением материала. Поэтому за опасное напряжение принимается предел временного сопротивления (предел прочности) σи . Очевидно, что коэф-

фициент запаса k во втором случае должен быть больше, чем в первом, так как после появления пластических деформаций разрушения элемента еще не происходит.

Необходимость введения коэффициента запаса прочности обусловлена следующими обстоятельствами: статистическим разбросом величин σу

и σи , определяемых экспериментальным путем, невозможностью точно ус-

тановить величину действующих внешних нагрузок, неточностью принятых методов расчета и т.д. Таким образом, коэффициент запаса прочности принимается равным: для стали k =1,5, для бетона – k =3, для естественного камня – k =10.

4.11.2 МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПО РАЗРУШАЮЩИМ НАГРУЗКАМ

Методика расчета по разрушающим нагрузкам исходит из учета пластической стадии работы материалов в отдельных элементах или сечениях конструкций. В СССР эта ме-

разрушающую нагрузку Fu , соответствующую полному исчерпанию несу-

щей способности системы. Следовательно, условие прочности можно представить в виде

где k − коэффициент запаса прочности, определяемый так же, как и в методике расчета по допускаемым напряжениям.

Для строительных конструкций, выполненных из пластичных материалов, принимается схематизированная диаграмма напряжений – диа-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

грамма Прандтля (рис. 4.20). Предполагается, что материал работает в ли- нейно-упругой стадии вплоть до предела текучести, а затем материал обладает бесконечной площадкой текучести. Материал, обладающий подобными свойствами, принято называть идеальным упругопластическим. Таким образом, величина разрушающей нагрузки для пластичных материалов определяется следующим образом

Следует заметить, что определение разрушающей нагрузки возможно только для несложных расчетных схем.

4.11.3 МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ

Методика расчета по предельным состояниям была разработана как дальнейшее развитие идеи расчета по разрушающим нагрузкам. Она применяется для расчетов всех строительных конструкций с конца 50-х годов ХХ века до наших дней. Особенность методики состоит в том, что исходят из некоторого расчетного предельного состояния, а один коэффициент запаса заменяется системой расчетных коэффициентов: по напряжениям, по нагрузкам, по условиям возведения и эксплуатации конструкции и т.д.

Сущность методики расчета по предельным состояниям заключается в назначении таких условий работы конструкции, при которых исключалась бы возможность наступления расчетного предельного состояния. Под расчетным предельным состоянием понимают такое состояние конструкции, при котором она теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или перестает удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям. При этом различают две группы предельных состояний.

Первая группа предельных состояний − по потере несущей способно-

сти, вызванной хрупким, вязким или усталостным разрушением, а также изза потери устойчивости формы или положения отдельных элементов или конструкции в целом.

Вторая группа предельных состояний − по непригодности к нормаль-

ной эксплуатации из-за появления недопустимых деформаций, осадок, колебаний, а также из-за образования трещин или чрезмерного их раскрытия.

По первой группе расчетных предельных состояний рассчитывают конструкции всех видов, по второй группе − только те конструкции, чрезмерные деформация в которых, образование или большое раскрытие трещин могут привести к потере ими эксплуатационных качеств еще до того, как будет исчерпана их несущая, способность.

Расчетная формула для подбора сечений и проверки несущей способности элемента конструкции по первому предельному состоянию получаются из основного неравенства

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

где Nmax − предельное наибольшее усилие в элементе, вызываемое внешними воздействиями;

S− предельная наименьшая несущая способность элемента, зависящая от прочностных свойств материала, размеров поперечного сечения и условий его работы.

Взависимости от продолжительности действия нагрузки подразделяют на постоянные и временные. К постоянным нагрузкам относятся собственный вес конструкции, давление грунта, воздействие предварительного на-

пряжения и т. д. Временные − вес людей, оборудования, нагрузки от снега, ветра, содержимого емкостей и т. д. Нормативные значения всех нагрузок F n приводятся в СНиП 2.01.07-85* «Нагрузки и воздействия». Значение расчетных нагрузок определяются путем умножения их нормативных величин на коэффициент надежности по нагрузке γ f .

Нагрузки могут действовать на конструкцию в различных сочетаниях, каждая из которых характеризуется своей статистической изменчивостью, поэтому следует учитывать реальную вероятность одновременного действия нескольких нагрузок. В расчетах это учитывается с помощью коэффициента сочетаний ψ ≤1,0 .

В общем случае надежность элементов конструкции должна соответствовать назначению и степени ответственности сооружения. С этой целью в методику расчета по предельным состояниям введен коэффициент по назначению здания γп . Таким образом, предельное наибольшее усилие, действую-

щее в отдельном элементе строительной конструкции, определяется по следующей формуле

i=1

где т − число нагрузок, учитываемых при расчете конструкции.

В расчетах по предельным состояниям первой группы используют

расчетные сопротивления R (МПа). Нормативное сопротивление Rп опре-

деляется путем статистической обработки результатов множества натурных наблюдений за изменчивостью прочности соответствующих образцов. Обеспеченность значений нормативных сопротивлений материалов должна составлять не менее 0,95, т. е. чтобы не менее чем в 95% случаев материал

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Коэффициент надежности по материалу γт учитывает возможные отклоне-

ния сопротивлений материалов в неблагоприятную сторону. Численные значения этого коэффициента устанавливаются нормами в зависимости от свойств материалов и статистической изменчивости этих свойств.

Наступление предельного состояния зависит не только от значения нагрузок и прочностных характеристик материалов, но и от условий работы конструкции. Прежде всего, это приближенность расчетных предпосылок и расчетных схем, перераспределение внутренних усилий и деформаций, длительность воздействий и многократность повторяемости нагрузки, влияние агрессивности среды и др. Все это учитывается с помощью коэффициента условий работы γс . Таким образом, предельная наименьшая несущая спо-

собность элемента строительной конструкции, определяется по формуле

где A − геометрическая характеристика поперечного сечения (площадь сечения, момент сопротивления и т.д.).

Второе предельное состояние ограничивает максимальные перемещения конструкции δmax в условиях нормальной эксплуатации, следовательно,

перемещения должны определяться от действия нормативных нагрузок. Таким образом, при расчетах по второй группе предельных состояний должно выполняться следующее неравенство

i=1

где − предельная величина перемещений, определяемая возможностью нормальной эксплуатации конструкции, которая устанавливается строительными нормами либо проектным заданием.

Более подробно методика расчета по предельным состояниям рассматривается в курсах проектирования строительных конструкций. В дальнейшем будем использовать следующие упрощенные уравнения данной методики, условно принимая единичные значения для всех коэффициентов:

− условие прочности

4.12 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Рассмотрим статически определимую стержневую систему, работающую в условиях одноосного растяжения (рис. 4.21). Статически определи-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

мыми называют такие системы, в которых все внутренние усилия могут быть определены с помощью уравнений статики.

изготовлены стержни заданной системы и, следовательно, известна величина расчетного сопротивления материла, то, воспользовавшись условием прочности, находим площадь поперечного сечения стержней:

А2 = А1 = NR = F(2R cosα).

Зная величину площади А с помощью выражения (4.7) определяем удлинение стержней

а также вертикальное перемещение точки

4.13 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

Статически неопределимыми называются задачи, которые нельзя решить с помощью только уравнений статики. Кроме уравнений статики при решении подобных задач необходимо использовать некоторые дополнительные соображения. Статически неопределимые стержневые конструкции, элементы которых работают на растяжение и сжатие, будем в дальнейшем

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

рассчитывать, решая совместно уравнения, полученные в результате рассмотрения статической, геометрической и физической сторон задачи.

1.Статическая сторона. Составляем уравнения равновесия отдельных элементов конструкции, содержащие неизвестные усилия.

2.Геометрическая сторона. Рассматриваем систему в деформированном состоянии и устанавливаем связи между деформациями и перемещениями ее отдельных элементов. Полученные уравнения назы-

вают уравнениями совместности деформаций.

3.Физическая сторона. На основании закона Гука выражаем перемещения и деформации элементов конструкции через неизвестные усилия.

4.13.1РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

НА ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНИХ СИЛ

Для новой задачи, показанной на рис. 4.22, для определения продольных усилий

возникающих в стержнях заданной системы, можно составить только два уравнения статики. Следовательно, эта задача является однажды статически неопределимой. Выполняем решение задачи, пользуясь ранее приведенной последовательностью действий.

1.Статическая сторона задачи.

∑х = 0 ; N2 sinα − N1 sinα = 0 ; N2 = N1 .

∑y = 0; N2 cosα + N1 cosα + N3 − F = 0; 2N1 cosα + N3 = F .

2.Физическая сторона задачи.

Из рассмотрения деформированного состояния системы следует, что

KK ′ = l3 ; l1 = l2 = KK ′cosα = l3 cosα . 3. Физическая сторона задачи.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Записываем удлинения отдельных стержней, используя закон Гука

Подставляя полученные выражения в уравнение совместности деформаций, имеем

После сокращения получаем

N1 = 2N3 cos2 α .

Используя уравнения статической стороны задачи, находим величину продольных усилий, возникающих в стержнях статически неопределимой системы

Далее, при необходимости, можно подобрать требуемую площадь поперечного сечения стержней, найти численные значения удлинений стержней и вертикального перемещения точки K, в соответствии с порядком, изложенным в разделе 4.12.

4.13.2 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Рассмотрим решение задачи, изображенной на рис. 4.22, на действие температуры. Пусть задана величина температурного перепада t = 30o и известен коэффициент линейного теплового расширения материала стержней αt .

Деформированное состояние системы от температурных воздействий приведено на рис. 4.23 (на схеме удлинения стержня 1 условно не показаны). Если бы отдельные стержни не были объединены систему, то их удлинения от действия температуры были соответственно равны

Когда система состоит только из двух стержней 1 и 2, то она является статически неопределимой. В статически определимых системах стесненные деформации отсутствуют, поэтому точка K от температурных воздействий переместится в новое положение K′. Однако, в структуре системы присутствует стержень 3, который препятствует свободной деформации указанных стержней. В результате точка K перемещается в положение K″. Как следует из рис. 4.23, чтобы присоединить концы всех стержней к точке K″, их необходимо дополнительно сжать на l1 (t), l2 (t) и l3 (t) соответственно. В ре-

зультате в стержнях системы возникают сжимающие усилия, которые направляем к сечению.

Дальнейшее решение задачи связано с рассмотрением ее статической, геометрической и физической стороны.

1.Статическая сторона задачи.

∑х = 0 ; − N2 (t)sinα + N1 (t)sinα = 0 ; N2 (t)= N1 (t).

∑y = 0; − N2 (t)cosα − N1 (t)cosα − N3 (t)= 0 ; 2N1 (t)cosα = −N3 (t).

2.Физическая сторона задачи.

Из рассмотрения деформированного состояния системы следует, что

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Подставляя полученные выражения в уравнение совместности деформаций, имеем

В данном выражении имеется только одно неизвестное N1 (t). Разрешая уравнение относительно N1 (t) и используя уравнения статической стороны

задачи, определяем величину продольных усилий, возникающих в остальных стержнях системы.

4.13.3 РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ НА МОНТАЖНЫЕ УСИЛИЯ

и, следовательно, точка K занимает новое положение K″.

Чтобы присоединить концы всех стержней к точке K″, стержни 1 и 2 необходимо дополнительно растянуть на l1 (δ) и l2 (δ), а стержень 3 сжать

на величину l3 (δ ). На рис. 4.24 удлинения стержня 1 условно не показаны.

В результате в стержнях системы возникают стесненные деформации. Рассматриваем равновесие нижней части системы. Растягивающие усилия направляем от сечения, а сжимающие − к сечению.

Далее рассматриваемее статическую, геометрическую и физическую стороны решаемой задачи.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

1.Статическая сторона задачи.

∑х = 0 ; − N1 (δ )sinα + N2 (δ)sinα = 0 ; N2 (δ)= N1 (δ).

∑y = 0; N1 (δ)cosα + N2 (δ)cosα − N3 (δ)= 0 ; 2N1 (δ)cosα = N3 (δ ).

2. Физическая сторона задачи.

Из рассмотрения деформированного состояния системы следует, что

Подставляя полученные выражения в уравнение совместности деформаций, имеем

С учетом уравнений статической стороны задачи, получаем

В данном выражении имеется только одно неизвестное N1 (δ ). Разрешая уравнение относительно N1 (δ ) и используя уравнения статической сто-

роны задачи, определяем величину продольных усилий, возникающих в остальных стержнях системы.

4.13.4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ ДЛЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЫ

В статически неопределимых системах, выполненных из пластичных материалов, появление текучести только в одном элементе не приводит к исчерпанию несущей способности системы в целом. В этом случае происходит только перераспределение усилий и напряжений между остальными стержнями системы. Для полного исчерпания несущей способности необходимо, чтобы текучесть возникла во всех стержнях системы (рис. 4.25). Продольные