ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

V =V0 (εx +εy +εz +εxεy +εyεz +εzεx +εxεyεz ).

Одной из основных гипотез сопротивления материалов является предположение о малости деформаций относительно размеров тела, т.е. величины εx , εy и εz являются бесконечно малыми. Произведения этих деформаций

представляют собой величины второго и третьего порядка малости, которыми можно пренебречь. Следовательно,

Относительное изменение объема, или относительная объемная де-

формация, может быть определена по формуле

Эта формула справедлива как для упругих, так и для упруго-пластических деформаций.

5.2.7 УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Найдем удельную потенциальную энергию деформации, т.е. энергию,

накопленную вследствие упругих деформаций единицей объема материала. Для этого рассмотрим куб с единичными гранями, находящийся под действием напряжений σ1 , σ2 и σ3 . При одноосном растяжении (см. раздел 4.14)

удельная потенциальная энергия деформации определялась так u = 12 σε .

Используя принцип независимости действия сил в случае одновременного действия трех напряжений, получаем

Подставляя в полученное уравнение обобщенны закон Гука (5.14), который необходимо записать относительно главных напряжений и деформаций, для чего заменяем в (5.14) индексы х, у и z на 1, 2, 3 соответственно. Окончательное выражение удельной потенциальной энергии и через главные напряжения имеет вид:

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

5.2.8 ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪМНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИИЯ. ЭЛЛИПСОИД НАПРЯЖЕНИЙ И КРУГИ МОРА

Концы векторов полных напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через данную точку тела, образуют в пространстве геометрическое место точек, лежащих на поверхности эллипсоида (рис. 5.9):

где Xν , Yν и Zν − проекции вектора полного напряжения, действующего по

площадке с внешней нормалью ν на координатные оси x , y и z соответственно;

σ1 , σ2 и σ3 − главные напряжения в данной точке.

Рисунок 5.9 – Эллипсоид напряжений

Эта поверхность называется эллипсоидом напряжений. Рассмотрим некоторые частные случаи:

1.Если два главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений превращается в эллипс вращения;

2.Если все три главных напряжения одинаковы, то эллипсоид напряжений превращается в шар. Все оси и все напряжения являются главными. Такое напряженное состояние вызывает только изменение объема тела при постоянной его форме.

3.Если одно из главных напряжений равно нулю, то эллипсоид вырождается в эллипс напряжений (плоское напряженное состояние).

4.При линейном напряженном состоянии остается только одна ось эл-

липсоида – отрезок прямой.

Помимо эллипсоида напряжений объемное напряженное состояние может быть графически графическая интерпретация может быть представ-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

лена некоторой круговой диаграммой в осях σ и τ , впервые предложенной немецким ученым Отто Мором.

Рисунок 5.10 – Круги Мора для объемного напряженного состояния

В дальнейшем эту диаграмму будем называть кругом Мора или кругом напряжений. Круги Мора для объемного напряженного состояния показаны на рис. 5.10. Радиусы этих кругов соответственно равны:

R1 = σ1 −2 σ3 ; R2 = σ1 −2σ2 ; R3 = σ2 −2 σ3 .

На произвольной площадке, проведенной через заданную точку тела и имеющую внешнюю нормаль ν , напряжения σν и τν определяются коорди-

натами точек заштрихованной площади, заключенной между построенными ранее окружностями.

Как следует из построенных кругов напряжений (рис. 5.10), экстремальные касательные напряжения τmax действуют по площадкам, наклонен-

ных под углом 45° к соответствующим главным напряжениям. Касательные напряжения на этих площадках, определяются по формулам

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

5.3 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Плоское напряженное состояние имеет место в том случае, когда напряжения на двух взаимно параллельных гранях элементарного объема, вырезанного в окрестности некоторой точки тела, равны нулю. В таких условиях находятся, например, элементы стержней и балок, изготовленных из относительно тонких пластинок.

5.3.1 НАПРЯЖЕНИЯ НА ПРОИЗВОЛЬНЫХ НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

жение наклонной площадки и связанных с нею осей z' и у' будем определять углом α . Угол поворота осей считаем положительным, если поворот совершается против часовой стрелки. Из рис. 5.11 следует, что dAz = dAcosα и

dAy = dAsinα .

Напряжения на наклонной площадке σα и τα найдем из условий равно-

весия треугольной призмы. Проецируя силы, действующие на призму, последовательно на оси z' и у', получаем:

5.3.2 ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Найдем положение главных площадок в случае плоского напряженного состояния, для чего приравняем нулю производную

Знак «±» поставлен потому, что косинусы углов 2α0 и 2α0 +180o имеют про-

тивоположные знаки. Подставляя выражения (5.29) и (5.31) в формулу (5.30), находим два корня квадратного уравнения

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

В этой формуле знак плюс соответствует максимальному главному напряжению σ1 , а минус − минимальному σ3 .

Необходимо заметить, что формулы (5.29) и (5.32) для определения главных напряжений и площадок соответствуют выражениям для определения главных моментов и главных осей плоских сечений (2.20) и (2.24). Это является следствием общих свойств квадратных симметричных матриц, т.к. по аналогии с тензором напряжений, используя замену σz = J z , σy = J y и

В координатах σ −τ равенства (5.34) представляют уравнение окружности радиуса R в параметрической форме, которая называется кругом Мора для случая плоского напряженного напряжения, или кругом напряжений.

Рассмотрим прямую задачу, когда величины σ1 и σ3 являются заданными и требуется определить величину и направление напряжений σα и τα ,

действующих на двух взаимно перпендикулярных площадках, составляющими с главными площадками угол α . Для решения задачи выполняем построение круга Мора (рис. 5.14).

На оси σ откладываем в некотором масштабе отрезки, равные известным главным напряжениям σ1 > 0 и σ2 > 0 . В результате имеем две точки В

и А. На отрезке АВ, как на диаметре строим круг. Точку А в дальнейшем будем называть полюсом круга Мора. Используя точку А как вершину, откла-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

дываем заданный угол α от оси σ (положительное направление угла – против часовой стрелки). Полученный луч пересекает окружность в точке K. Луч АK совпадает с направлением внешней нормали ν , проведенной к наклонной площадке, где действуют напряжения σα и τα . Величина этих напряжений

соответствует координатам точки K в координатах σ −τ . Соединяя точку K с центром круга О и продолжая полученную прямую до пересечения с окружностью, получаем точку K′. Координаты точки K′ соответствуют напряжениям σα +90o и τα +90o . Положение прямой АK′ совпадает с направлением внешней

нормали к площадке α +90o .

Рисунок 5.14 – Прямая задача определения напряжений Теперь решим обратную задачу, когда заданы величины σα > 0, τα > 0,

σα +90o < 0 , τα +90o < 0 и требуется установить положение главных площадок, а также найти величину главных напряжений σ1 и σ3 . Для решения задачи вы-

полняем построение круга Мора (рис. 5.15).

На оси σ учетом знаков откладываем в некотором масштабе отрезки, равные известным главным напряжениям σα и σα +90o . Положительные на-

пряжения откладываем вправо от оси τ , а отрицательные – влево. Из полученных точек M и N в направлении оси τ с учетом знаков откладываем отрезки, равные заданным величинам τα и τα+90o . Соединяем точки K и K′пря-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

мой, которая пересекает ось σ в точке О. Эта точка является центром круга напряжений (круга Мора).

τ

ν

K σ1

ν+90°

τα

α0 2α0

τα+90°

K′

σ3

σα+90° σα

σ3 σ1

Рисунок 5.15 – Обратная задача определения напряжений

Строим окружность радиусом OK. Окружность пересекает ось σ в двух точках А и В. Отрезки АО и ВО представляют собой искомые главные напряжения σ1 и σ3 . Соединяя точки А и K прямой получаем направление

внешней нормали ν . Прямая АK составляет с осью σ угол α0 . Аналогично, соединяя прямой точки АK′, получаем направление внешней нормали второй площадки ν +90o .

5.4 ПОНЯТИЕ О ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ В ТОЧКЕ ТЕЛА

Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для всех возможных направлений осей, проведенных через данную точку тела, называется деформированным состоянием в точке.

Рассмотрим особенности деформации материала в окрестности некоторой точки, выделив бесконечно малый параллелепипед со сторонами dx , dy

быть представлены деформации элемента и в двух других плоскостях. Все эти величины могут быть записаны в виде матрицы третьего порядка, аналогичной (5.2). Эта матрица называется тензором деформаций

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Если мысленно вращать вокруг заданной точки оси x, y и z, переводя их во всевозможные положения x′, y′ и z′, то тензор деформаций будет непрерывно меняться. Аналогично напряженному состоянию можно указать три взаимно перпендикулярные оси I, II и III, для которых углы сдвига равны нулю, а относительные удлинения

Рассмотрим деформации элемента в некоторой плоскости (рис. 5.17).

εα = ε1 cos2 α +ε2 sin2 α = ε1 +2 ε2 + ε1 −2 ε2 cos 2α .

Далее найдем