ЛЕКЦИИ ЧАСТЬ I

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Если положение центра тяжести поперечного сечения определено, то известны координаты этой точки О (xo, yo). Тогда из выражений (2.4) следует, что Sy = xo A и Sx = yo A , где А − площадь поперечного сечения. Таким обра-

зом, координаты центра тяжести поперечного сечения относительно выбранных координатных осей x и y могут быть найдены с помощью следующих уравнений:

Если рассматриваемое поперечное сечение можно разбить на n элементов, для каждого из которых известно положение центров тяжести и площадь, то интегрирование в выражении (2.8) можно заменить суммированием

Полученные уравнения (2.9) используются для определения координат центра тяжести плоского поперечного сечения.

2.2 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ

Статические моменты сечения относительно осей xOy в соответствии с выражениями (2.4) и с учетом соотношений (2.10) имеют вид

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Sx = ∫∫( yM 1 +b1 )dA = Sx1 + b1 A и Sy = ∫∫( xM 1 + a1 )dA = Sy1 + a1 A . (2.11)

A A

Для каждого поперечного сечения существует хотя бы одна пара взаимно перпендикулярных осей, относительно которых статические моменты равны нулю. Такие оси называют центральными и они всегда проходят через центр тяжести поперечного сечения. Осевые моменты инерции при параллельном переносе координатной системы будут определяться следующим образом:

J x = ∫∫( yM 1 +b1 )2 dA = J x1 + 2Sx1b1 +b12 A;

Если оси x1O1y1 являются центральными, то выражения (2.12−2.13) приводятся к следующему виду:

2.3 ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ПОВОРОТЕ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Осевые моменты инерции и центробежный момент относительно осей ξОη в соответствии с (2.5−2.6) будут равны

2.4 ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Оси ξОη называются главными центральными осями инерции, если центробежный момент Dξη относительно этих осей равен нулю. Главные оси

всегда проходят через центр тяжести сечения. Величины осевых моментовJξ иJη будут экстремальными из всех возможных при повороте системы

координат относительно центра тяжести поперечного сечения. Моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными моментами инерции. Определим положение главных центральных осей. Из выражения для центробежного момента (2.18) следует, что угол поворота между осью Ох и главной осью Оξ будет равен:

Будем в дальнейшем обозначать главные оси инерции сечения UOV. Значения главных моментов инерции можно получить из формул перехода к повернутым осям (2.18):

ма моментов инерции при повороте прямоугольных осей не изменяется, т.е.

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

является инвариантной для такого преобразования координат. Теперь из формул (2.23 - 2.23) находим следующие выражения:

Таким образом, формулы (2.20) и (2.25) позволяют определить положение главных осей и величины главных центральных моментов инерции сечения. Если теперь вместо произвольной начальной системы координат xOy принять главные оси UOV ( DUV = 0 ), то формулы (2.18) перехода к поверну-

тым осям упрощаются

2.5 РАДИУСЫ И ЭЛЛИПС ИНЕРЦИИ. МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Момент инерции плоского сечения относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой

величины: J x = ∫∫y2dA = Aix2 , где ix − радиус инерции относительно оси Ох.

A

Из полученного выражения следует, что

где ymax и xmax − расстояния от наиболее удаленных точек сечения до со-

ответствующих осей, взятые по модулю. Главным осям соответствуют и главные моменты сопротивления.

2.6 ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР

Вычисление моментов инерции некоторых простейших фигур может быть выполнено непосредственным интегрированием выражений (2.5). Рассмотрим несколько наиболее распространенных фигур.

Прямоугольник. Мысленно разобьем прямоугольник на элементарные площадки, параллельными оси Ох. Площадь отдельного элемента определяется равенством dA = bdy (рис. 2.6).

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Находим центробежный момент инерции относительно осей х1Оу1, принимая площадь элемента dA = bdy :

Найдем момент инерции относительно центральной оси О1х1:

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Аналогичным образом найдем момент инерции относительно оси симметрии Оу. В этом случае высота элементарной площадки из подобия треугольников равна:

Учитывая, что полярный момент инерции равен сумме двух осевых моментов, имеем

Кольцо. Момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции наружного и внутреннего круга. Тогда полярный момент и осевые моменты инерции соответственно равны:

J ρ = πR2 4 − π2r 4 = π2 (R4 − r 4 ) и J x = J y = πR4 4 − π4r 4 = π4 (R4 − r 4 ).

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

3. ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИЯХ, ДЕФОРМАЦИЯХ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ

3.1.КЛАССИФИКАЦИЯ ВНЕШНИХ СИЛ

Всопротивлении материалов различают несколько видов нагрузок, действующих на сооружения. Сосредоточенные силы F передаются на сооружение через малую площадку. Условно считают, что такие нагрузки приложены в точке. Например, сосредоточенной силой можно считать давление обода колеса на рельс, работающий как длинная балка (рис. 3.1). В то же время при исследовании местных деформаций в материале под точкой приложения силы необходимо учитывать фактическую передачу усилия через определенную площадь контакта. Отсюда видно, что понятие сосредоточенной силы является условным. В зависимости от поставленной задачи одна и

та же нагрузка может быть схематизирована по-разному.

Рисунок 3.1 – Примеры сосредоточенных и распределенных нагрузок

Распределенные нагрузки p или q передаются на сооружение через некоторую площадь. Интенсивность распределенной нагрузки измеряется в

единицах силы, отнесенной к единице площади (Н/м2 или Па). К числу таких нагрузок, например, относятся давление жидкости на стенки и днище резервуара (рис. 3.1). Распределенные нагрузки могут быть постоянной или пе-

ременной интенсивности. При расчете многих элементов конструкции нагрузку, распределенную по площади, заменяют нагрузкой, которая относится к единице длины балки (Н/м).

Кроме того, встречается нагрузка, передаваемая на элемент конструк-

ции в виде сосредоточенных моментов М (Н м) или распределенных по длине пар сил т (Н м/м).

Все силы, рассмотренные ранее, приложены на поверхности тела и на-

зываются поверхностными силами. Наряду с этим встречаются объемные си-

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

лы, распределенные по всему объему тела. К ним относятся собственный вес

тела, силы магнитного притяжения, силы инерции и т. п.

В зависимости от характера изменения нагрузок во времени их подразделяют на статические и динамические. Статическая нагрузка прикладывается во времени настолько медленно, что ускорениями точек конструкции при их перемещениях и, следовательно, силами инерции, которые возникают при движении, можно пренебречь.

Динамическая нагрузка в отличие от статической меняет свою величину или положение (движущаяся нагрузка) в сравнительно короткий промежуток времени.

По продолжительности действия на сооружение различают также постоянную и временную нагрузки. Постоянной называется нагрузка, которая

действует непрерывно в течение всего срока службы сооружения, например

собственный вес конструкции. Временная нагрузка имеет ограниченную продолжительность действия, например давление транспортных средств на

мост, вес снега и т. п.

Внешние нагрузки можно классифицировать следующим образом: − осевые (направленные вдоль оси бруса Oz);

z Fi – осевые сосредоточенные силы; qz(z) – осевая распределенная

Эп.qz(z) нагрузка.

y а

Рисунок 3.2 – Осевые нагрузки

−поперечные (действующие в вертикальной плоскости zOy или горизонтальной плоскости zOх);

Рисунок 3.3 – Поперечные нагрузки

− скручивающие (вращающие относительно оси бруса Oz)

Молдаванов С.Ю. Курс лекций по сопротивлению материалов для строительных специальностей

Рисунок 3.4 – Скручивающие нагрузки

Распределенные нагрузки характеризуются интенсивностью, которую можно изобразить графически. Интенсивность распределенной нагрузки может быть либо постоянной, либо изменяться по произвольному закону. Интенсивность распределенной нагрузки на плоскости изображается в виде некоторой геометрической фигуры.

Рисунок 3.5 – Замена распределенной нагрузки ее равнодействующей

Распределенную нагрузку можно привести к равнодействующей, точка приложения которой совпадает с центром тяжести эпюры нагрузки. Величина равнодействующей распределенной поперечной нагрузки вычисляется как определенный интеграл от закона изменения нагрузки на участке ее прило-

жения. Для распределенной нагрузки, изменяющейся по произвольному за-

кону (рис. 3.5, а) имеем: R = ∫b qy ( z )dz . Вычисление равнодействующей для

a

нагрузок, имеющих постоянную интенсивность (равномерно распределенные нагрузки) значительно упрощается: R = qyl (рис. 3.5, б).

3.2. МЕТОД СЕЧЕНИЙ. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ В ПОПЕРЕЧНОМ

СЕЧЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассмотрим твердое деформируемое тело, находящееся в равновесии

под действием системы внешних сил (рис. 3.6, а). В результате действия внешних нагрузок тело деформируется, т.е. изменяет свои первоначальные

размеры и форму. Деформации приводят к изменению расстояний между его

отдельными частицами (атомами и молекулами). В поперечных сечениях тела появляются дополнительные силы взаимодействия между отдельными его